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| Aufgabe | Gegeben ist ein Tetraeder S,P1,P2,P3 mit S(1|-1|1), P1(3|5|1), P2(5|-5|5), P3(3|3|-1)
-> Zeigen Sie, dass S,P1,P2,P3 ein Tetraeder ist:
a) 4 gleich lange Kanten
b) 4 gleichseitige Dreicke als Flächen
-> Zeigen Sie, dass der Flächenwinkel 60° ist. |
Also bei a) habe ich mir gedacht Punkt S als Stützvektor zu nehmen und dann mit jedem anderen Punkt einen Richtungsvektor zu bilden und die Beträge auszurechnen.
Geht das so?
Und b) hätte ich doch auch eigentlich bewiesen, wenn bei a) alle Richtungsvektoren den selben Betrag haben..
Sonst habe ich keine Idee. Sind meine Lösungsansätze soweit richtig oder gibt es Denkfehler.. Dann bitte ich auch um Alternativvorschläge.
So und zum Flächenwinkel habe ich wirklich gar keine Idee und werde jetzt erstmal googlen. Oder hat jemand sonst einen Link, wo das gut erklärt ist?
Ich muss die Aufgabe morgen in der Klasse als Ersatzleistung vorstellen, daher poste ich die Aufgabe hier um sicher zu gehen :)
Vielen Dank schonmal
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Tetraeder-Beweis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 So 18.12.2011 | | Autor: | Suedkurve |
Also ich habe mal die Beträge ausgerechnet.
|SP1| = Wurzel aus 40
|SP2| = Wurzel aus 48
In einem Tetraeder hat doch jeder Punkt den selben Abstand zum anderen oder nicht? So handelt es sich hierbei um keinen Tetraeder... oder?
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> Also ich habe mal die Beträge ausgerechnet.
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> |SP1| = Wurzel aus 40
>
> |SP2| = Wurzel aus 48
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> In einem Tetraeder hat doch jeder Punkt den selben Abstand
> zum anderen oder nicht? So handelt es sich hierbei um
> keinen Tetraeder... oder?
Gib einmal die ganze Aufgabe vollständig und im
genauen Originaltext an !
Du musst zwischen (beliebigem) Tetraeder und regelmässigem
Tetraeder unterscheiden.
LG
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> Gegeben ist ein Tetraeder S,P1,P2,P3 mit S(1|-1|1),
> P1(3|5|1), P2(5|-5|5), P3(3|3|-1) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Kontrolliere diese Daten !!
> -> Zeigen Sie, dass S,P1,P2,P3 ein Tetraeder ist:
> a) 4 gleich lange Kanten
> b) 4 gleichseitige Dreicke als Flächen
>
> -> Zeigen Sie, dass der Flächenwinkel 60° ist.
War das wirklich die Originalaufgabe ?
(Ich zweifle sehr daran !)
> Also bei a) habe ich mir gedacht Punkt S als Stützvektor
> zu nehmen und dann mit jedem anderen Punkt einen
> Richtungsvektor zu bilden und die Beträge auszurechnen.
>
> Geht das so?
Eigentlich genügt es zu zeigen, dass alle Kanten
(es sind nicht nur 4, sondern 6 Kanten!) gleich
lang sind. Der ganze Rest (dass die Seitendreiecke
gleichseitig und alle ihre Innenwinkel gleich 60° sein
müssen) folgt dann eigentlich durch geometrische
bzw. Symmetrie-Argumente.
Ich befürchte allerdings, dass an deinen Daten für
die Eckpunkte etwas falsch ist !
Noch zum Begriff "Tetraeder": 4 Punkte im Raum in
allgemeiner Lage (d.h. dass sie nicht in einer gemeinsamen
Ebene liegen sollen), bilden immer die Eckpunkte eines
Tetraeders.
Du hast offenbar an ein regelmässiges Tetraeder
gedacht. Dies ist aber bei deinem gegebenen Tetraeder
bei weitem nicht der Fall, denn alle 6 Kanten haben
unterschiedliche Längen !!
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 So 18.12.2011 | | Autor: | Suedkurve |
Es handelt sich wirklich um die Originalaufgabe, die mir meine Lehrkraft als Zettel mitgegeben hat.
Die Koordinaten habe ich schon mehrmals auf eigene Verwunderung geprüft und so wie ich sie hier aufgeschrieben habe, stehen sie auch im Buch!
Ich vermute meine Lehrkraft ist ebenfalls von einem "regelmäßigen Tetraeder" ausgegangen und hat mir die Aufgaben deshalb so gestellt. Bei den vier gleich langen Kanten scheint ihr auch ein Fehler unterlaufen zu sein.
Naja,
Vielen Dank soweit.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 So 18.12.2011 | | Autor: | Suedkurve |
Ah, vielleicht habe ich das ein bisschen missverständlich dargestellt.
Also im Schulbuch ist diese Aufgabe gegeben:
"Gegeben ist ein Tetraeder S,P1,P2,P3 mit S(1|-1|1), P1(3|5|1), P2(5|-5|5), P3(3|3|-1) "
Und die Aufgaben dazu hat mir meine Lehrkraft auf einem Zettel mitgegeben.
Also "Zeigen Sie, dass " und so weiter.
Aber hat sich ja jetzt erledigt.
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> Ah, vielleicht habe ich das ein bisschen missverständlich
> dargestellt.
>
> Also im Schulbuch ist diese Aufgabe gegeben:
>
> "Gegeben ist ein Tetraeder S,P1,P2,P3 mit S(1|-1|1),
> P1(3|5|1), P2(5|-5|5), P3(3|3|-1) "
>
> Und die Aufgaben dazu hat mir meine Lehrkraft auf einem
> Zettel mitgegeben.
>
> Also "Zeigen Sie, dass " und so weiter.
>
> Aber hat sich ja jetzt erledigt.
Es scheint sich um ein absolut unregelmäßiges Tetraeder
zu handeln.
Um die Aufgabe trotzdem sauber zu lösen, kannst du
doch der Klasse genüsslich vorführen, dass alle die zu
beweisenden Eigenschaften eben nicht zutreffen !
Lass dabei die Pointen nur nicht allzu früh raus, denn die
Lehrkraft ahnt ja wohl noch gar nicht, dass sie für deine
Spezialaufgabe ein unregelmäßiges Tetraeder ausgewählt
hat. [schmunzel]
LG Al-Chw.
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