Tetraeder-Berechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Kendra |
Einem Würfel (Kantenlänge a) wird ein Tetraeder (Kantenlänge b) einbeschrieben. Die Länge a ist zahlenmäßig bekannt.
(Die Kantenlänge b ist übrigens die Diagonale der Würfelbegrenzungsfläche.)
a) Geben Sie den Rauminhalt V des Tetraeders an (ausgedrückt durch a).
Wie soll ich das machen, da ich für a doch keine Größe habe? Soll ich mir einfach eine ausdenken, oder nach der Formel - ohne Zahlen - auflösen?
b) Den Würfel kann man sich zusammengesetzt denken aus dem Tetraeder sowie vier Pyramiden gleichen Grundflächeninhalts. (Als Beispiel ist eine Pyramide S (ABC) dargestellt.) Wie groß ist der Rauminhalt V jeder dieser Pyramiden?
Das selbe Problem: wie soll ich dies ohne Zahlen und überhaupt berechnen?
c) Man soll die Probe machen, ob die Summe der fünf Pyramiden-Rauminhalte gleich dem Rauminhalt des Würfels ist.
Wäre für Denkanstöße sehr dankbar.
lg
Kendra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kendra!
(Eine nette Begrüßung für uns auf den Freitag wäre auch nett  ...)
> Einem Würfel (Kantenlänge a) wird ein Tetraeder
> (Kantenlänge b) einbeschrieben. Die Länge a ist zahlenmäßig
> bekannt.
> (Die Kantenlänge b ist übrigens die Diagonale der
> Würfelbegrenzungsfläche.)
Na, dann kannst Du $b$ ja in Abhängigkeit von $a$ darstellen, Stichwort: Pythagoras!
> a) Geben Sie den Rauminhalt V des Tetraeders an
> (ausgedrückt durch a).
>
> Wie soll ich das machen, da ich für a doch keine Größe
> habe? Soll ich mir einfach eine ausdenken, oder nach der
> Formel - ohne Zahlen - auflösen?
Hier wird schon eine allgemeine (d.h. formel-mäßige) Lösung gemeint sein ...
Stell' Dir vor, jeder in Deiner Klasse rechnet mit anderen Zahlen ...
> b) Den Würfel kann man sich zusammengesetzt denken aus dem
> Tetraeder sowie vier Pyramiden gleichen
> Grundflächeninhalts. (Als Beispiel ist eine Pyramide S
> (ABC) dargestellt.) Wie groß ist der Rauminhalt V jeder
> dieser Pyramiden?
>
> Das selbe Problem: wie soll ich dies ohne Zahlen und
> überhaupt berechnen?
Kennst Du die Volumenformel einer Pyramide?
[mm] $V_{Pyramide} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * G * [mm] h_G$
[/mm]
Dabei ist $G$ die Grundfläche der Pyramide.
Die Größen $G$ und [mm] $h_G$ [/mm] kannst Du ja auch in Abhängigkeit von $a$ darstellen. Am besten mal eine Skizze machen ...
> c) Man soll die Probe machen, ob die Summe der fünf
> Pyramiden-Rauminhalte gleich dem Rauminhalt des Würfels
> ist.
Hier brauchst Du doch "nur" die Summe Deiner vorherigen Ergebnisse bilden, und diese sollten dann genau das Würfelvolumen ergeben:
[mm] $V_{W"urfel} [/mm] \ = \ ... \ = \ 4 * [mm] V_{Pyramide} [/mm] + [mm] V_{Tetraeder}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Kendra
ich hoffe, aus dem Bild ist erkennbar
daß vom Würfel, damit der Tetraeder
entsteht, 4 gleichgroße Pyramiden
abgeschnitten werden die man auch
als Pyr. mit einem rechtwinkelig
gleichschenkeligem 3eck als Grund-
fäche und der Würfelkantenlänge als
Höhe sehen kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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