Testen von Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Do 23.03.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Die Nullhypothese eines beidseitigen Tests lautet [mm] p_0=0,4. [/mm] Sie soll bei einem Stichprobenumfang von n=100 getestet werden.
Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich [mm] \overline{A} [/mm] bei einer Irrtumgswahrscheinlichkeit von 5%. |
Hallo.
Als zunächst einmal habe ich alles herausgeschrieben:
[mm] p_0=0,4
[/mm]
n=100
[mm] \alpha=5%
[/mm]
Ich weiß nicht, ob das eine Fertigformel ist, aber ich habe so gerechnet
p(X < gesucht) [mm] \ge [/mm] 1-5%
p(X < gesucht) [mm] \ge [/mm] 0,95
Nun habe ich die Tabelle für die Binomialverteilung in meiner Formelsammlung aufgeschlagen und ich bin mir unsicher, ob es 48 oder 49 sind...
Ich würde dazu tendieren, dass
overline{A} = (0,1,2,...48)
Kann das sein?
MfG,
phoney
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Do 23.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Die Nullhypothese eines beidseitigen Tests lautet [mm]p_0=0,4.[/mm]
> Sie soll bei einem Stichprobenumfang von n=100 getestet
> werden.
> Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich [mm]\overline{A}[/mm] bei
> einer Irrtumgswahrscheinlichkeit von 5%.
> Hallo.
> Als zunächst einmal habe ich alles herausgeschrieben:
> [mm]p_0=0,4[/mm]
>
> n=100
>
> [mm]\alpha=5%[/mm]
>
> Ich weiß nicht, ob das eine Fertigformel ist, aber ich habe
> so gerechnet
>
> p(X < gesucht) [mm]\ge[/mm] 1-5%
>
> p(X < gesucht) [mm]\ge[/mm] 0,95
>
> Nun habe ich die Tabelle für die Binomialverteilung in
> meiner Formelsammlung aufgeschlagen und ich bin mir
> unsicher, ob es 48 oder 49 sind...
> Ich würde dazu tendieren, dass
>
> overline{A} = (0,1,2,...48)
>
> Kann das sein?
>
> MfG,
> phoney
Hallo Johann,
bei deinem Test gehst du ja davon aus, dass die Hypothese wahr ist und nun geht es
darum ein Intervall um den Erwartungswert zu spannen, in dem $95$% liegen bzw.
$5$% nicht liegen. Aus dieser Erkenntnis folgt:
[mm] $P(\mu [/mm] -k [mm] \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] +k)=0,95$
$P(X [mm] \le \mu [/mm] +a)-P(X [mm] \le \mu [/mm] -a-1)=0,95$
Wenn wir nun weiterüberlegen, merken wir, dass letztlich sowohl links als auch rechts
vom Annahmebereich $0,05:2=0,025=2,5$% liegen sollen.
Da die Verteilung eh symmetrisch zum Erwartungswert ist, liegen $50$% rechts und
die anderen $50$% links vom Erwartungswert.
Wir können also schauen für welches $k$ folgende Gleichung gilt:
$P(X > [mm] \mu [/mm] +k)=0,025 [mm] \to [/mm] 1-P(X [mm] \le \mu [/mm] + k)=0,025 [mm] \to [/mm] P(X [mm] \le \mu [/mm] +k)=0,975$
Bei deinen Werten erhältst du $k [mm] \approx [/mm] 9,1$, da es darum geht, dass der Ablehnunsbereich
möglichst genau und nicht mindestens oder maximal $0,05$ groß sein soll, müsstest du hier
einfach normal runden. Der rechte Teil des Annahmebereichs endet also bei $49$ und den
linken kannst du ja leicht selbst errechnen.
Dein Ergebnis ist ja sehr ähnlich, jedoch frage ich mich, wo deine untere Grenze ist.
Gruß
Nicolas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Do 23.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> > Die Nullhypothese eines beidseitigen Tests lautet [mm]p_0=0,4.[/mm]
> > Sie soll bei einem Stichprobenumfang von n=100 getestet
> > werden.
> > Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich [mm]\overline{A}[/mm] bei
> > einer Irrtumgswahrscheinlichkeit von 5%.
> > Hallo.
> > Als zunächst einmal habe ich alles herausgeschrieben:
> > [mm]p_0=0,4[/mm]
> >
> > n=100
> >
> > [mm]\alpha=5%[/mm]
> Hallo Johann,
>
> bei deinem Test gehst du ja davon aus, dass die Hypothese
> wahr ist und nun geht es
> darum ein Intervall um den Erwartungswert zu spannen, in
> dem [mm]95[/mm]% liegen bzw.
> [mm]5[/mm]% nicht liegen. Aus dieser Erkenntnis folgt:
> [mm]P(\mu -k \le X \le \mu +k)=0,95[/mm]
> [mm]P(X \le \mu +a)-P(X \le \mu -a-1)=0,95[/mm]
>
> Wenn wir nun weiterüberlegen, merken wir, dass letztlich
> sowohl links als auch rechts
> vom Annahmebereich [mm]0,05:2=0,025=2,5[/mm]% liegen sollen.
> Da die Verteilung eh symmetrisch zum Erwartungswert ist,
> liegen [mm]50[/mm]% rechts und
> die anderen [mm]50[/mm]% links vom Erwartungswert.
> Wir können also schauen für welches [mm]k[/mm] folgende Gleichung
> gilt:
> [mm]P(X > \mu +k)=0,025 \to 1-P(X \le \mu + k)=0,025 \to P(X \le \mu +k)=0,975[/mm]
>
> Bei deinen Werten erhältst du [mm]k \approx 9,1[/mm], da es darum
> geht, dass der Ablehnunsbereich
Das sagt mir jetzt leider gar nichts. Wie komme ich da auf das k?
(Das andere Ergebnis wäre wohl 31? Aber auch da weiß ich nicht, wie man darauf kommt; ich habe einfach X+9=49 => x=40, und daraus ergab sich dann 31, wenn man die 9 von X abzieht bzw. von 40)
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Do 23.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Johann,
wie genau bist du denn vorgegangen? Wenn ich es richtig sehe,
hast du doch gesagt $P(X>a)=0,025$ und für die andere
Grenze $P(X<b)=0,025$, das ist ja im Prinzip das gleiche wie
bei mir.
Gruß
Nicolas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Do 23.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Fugre.
> Hallo Johann,
>
> wie genau bist du denn vorgegangen? Wenn ich es richtig
> sehe,
> hast du doch gesagt [mm]P(X>a)=0,025[/mm] und für die andere
> Grenze [mm]P(X
> bei mir.
Ne, so hast du es gemacht... Ich habe am Anfang anscheinend irgendeinen Blödsinn gemacht.
Nur weiß ich trotzdem nicht, wie man auf das k kommt:
Wie hast du also das [mm] k\aprrox9 [/mm] berechnet?
Gruß
Phoney
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Do 23.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Hallo Fugre.
>
> > Hallo Johann,
> >
> > wie genau bist du denn vorgegangen? Wenn ich es richtig
> > sehe,
> > hast du doch gesagt [mm]P(X>a)=0,025[/mm] und für die andere
> > Grenze [mm]P(X
> > bei mir.
>
> Ne, so hast du es gemacht... Ich habe am Anfang anscheinend
> irgendeinen Blödsinn gemacht.
> Nur weiß ich trotzdem nicht, wie man auf das k kommt:
>
> Wie hast du also das [mm]k\aprrox9[/mm] berechnet?
>
> Gruß
> Phoney
Hallo Johann,
so ganz falsch kann dein Vorgehen ja nicht gewesen sein, bist ja nun nicht zufällig
auf die $48$ gekommen. Den einzigen Unterschied, den ich sehe ist, dass du das
$k$ schon in die Grenzen eingebaut hast und ich nicht, also dein "gesucht" entspricht
in einem Fall [mm] $\mu [/mm] + k$ und im anderen [mm] $\mu [/mm] - k$.
Ich habe ja zunächst die Gleichung $ P(X > [mm] \mu [/mm] +k)=0,025 [mm] \to [/mm] 1-P(X [mm] \le \mu [/mm] + k)=0,025 [mm] \to [/mm] P(X [mm] \le \mu [/mm] +k)=0,975 $ aufgestellt,
die nichts anderes sagt, als dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert größer als ein gesuchter Wert [mm] $\mu [/mm] + k=b$, $2,5$% beträgt.
Auf $2,5$% komme ich, da die Verteilung symmetrisch ist und ich sowohl nach unten als auch nach oben eine Grenze setzen muss.
Diese Gleichung habe ich dann mit Moivre-Laplace gelöst.
Gruß
Nicolas
PS: Wie kommst du denn auf die vernünftigen Lösungen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Do 23.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Moin Fugre, vielen dank für deine Erklärung.
> Diese Gleichung habe ich dann mit Moivre-Laplace gelöst.
Davon habe ich noch nie etwas gehört...
>
> PS: Wie kommst du denn auf die vernünftigen Lösungen?
Was meinst du mit vernünfitgen Lösungen? Die 31 und 49?
Du sagtest ja:
"Wir können also schauen für welches k folgende Gleichung gilt:
$ P(X > [mm] \mu [/mm] +k)=0,025 [mm] \to [/mm] 1-P(X [mm] \le \mu [/mm] + k)=0,025 [mm] \to [/mm] P(X [mm] \le \mu [/mm] +k)=0,975 $
Bei deinen Werten erhältst du $ k [mm] \approx [/mm] 9,1 $, da es darum geht, dass der Ablehnunsbereich
möglichst genau und nicht mindestens oder maximal 0,05 groß sein soll, müsstest du hier
einfach normal runden. Der rechte Teil des Annahmebereichs endet also bei 49 und den "
Auch wenn die Rechnung (vorher und jetzt eigentlich auch) eher in den Bereich "nicht bekannt" fällt, konnte ich die 31 ausrechnen, indem du sagtest, es wäre die "linke" Grenze. Daher habe ich von der rechten Grenze (ich bezeichne sie einfach mal so) 49 eben 2 mal die 9 abgezogen, das ergibt 49-18 = 31
Oder meintest du doch meine erste Lösung? bzw. der Versuch einer Lösung.
Da habe ich einfach:
p(X < gesucht) $ [mm] \ge [/mm] $ 100%-5%
gerechnet, bei einer Wahrscheinlichkeit p=0,4 und den Wert aus der Binomialtabelle mit n=100 den nächst kleineren Wert abgelesen, der war dann eben bei k=48.
Aber irgendwie war das ja auch ein Fehlschlag
Aber vielen dank für die Antworten (auch in allen anderen Fragen)
Gruß
Johann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Do 23.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Johann,
mir ist leider noch nicht klar mit welchen Techniken ihr Binomialverteilungen untersucht.
Wenn du dazu noch Fragen haben solltest, müsstest du mir das noch verraten.
Gruß
Nicolas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Do 23.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Fugre.
> mir ist leider noch nicht klar mit welchen Techniken ihr
> Binomialverteilungen untersucht.
Ach, das wolltest du wissen. Um ehrlich zu sein, fällt mir zur Binomialverteilung nur der sogennante "Bernoulli-Versuch" ein.
Dann hatten wir noch die Rezepte für die (drei von vier) Standardfälle:
-geordnete Stichprobenziehung ohne Zurücklegen
-geordnete Stichprobenziehung mit Zurücklegen [mm] n^k
[/mm]
-ungeordnete Stichprobenziehung ohne Zurücklegen n über k
-Bernoulli-Versuch
-Begriffe wie: Standardabweichung, Erwartungswert sind mal gaaanz kurz gefallen, genauso wie der Hypothesentest.
Daher auch meine vielen Fragen, weil mehr als "lest mal das, was da im Buch steht" (schlechtes Buch übrigens) läuft da nicht. Was man schon daran sieht, dass ich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten schon nicht allzuviel anfangen kann.
Zu den Hypothesenverteilungen haben wir auch nur kurz so Begrifflichkeiten wie Irrtumswahrscheinlichkeit, Ablehnungsbereich geklärt...
Genaueres kann ich dazu nicht sagen, da wir nicht mehr gemacht haben.....
Grüße
Johann
|
|
|
|
