Test auf differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Sa 09.05.2009 | | Autor: | dau2 |
Hi,
habe die Funktion [mm] |x^2-4| [/mm] und soll bestimmen ob sie differenzierbar ist, hänge bei der ersten Fallunterscheidung:
f'(x0) = [mm] \limes_{x\rightarrow\x0} [/mm] = [mm] \bruch{f(x) - f(x0)}{x-x0} [/mm] = [mm] \bruch{|x^2-4|-|x0^2-4|}{x-x0}
[/mm]
Jetzt würde ich den ersten Betrag mit einer Fallunterscheidung behandeln, aber da ist ja noch der 2. Betrag...werden das dann 4 Fallunterscheidungen?
Fall 1: [mm] x^2-4: [/mm]
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> habe die Funktion [mm]|x^2-4|[/mm]
Hallo,
hat die womöglich auch einen Definitionsbereich? Ich denke, Du sollst sie auf ganz [mm] \IR [/mm] betrachten.
> und soll bestimmen ob sie
> differenzierbar ist, hänge bei der ersten
> Fallunterscheidung:
>
> f'(x0) = [mm]\limes_{x\rightarrow x0}[/mm] = [mm]\bruch{f(x) - f(x0)}{x-x0}[/mm]
> = [mm]\bruch{|x^2-4|-|x0^2-4|}{x-x0}[/mm]
Ist es so aufwendig, einen Index zu setzen? "Mit" liest es sich einfach geschmeidiger...
> Jetzt würde ich den ersten Betrag mit einer
> Fallunterscheidung behandeln, aber da ist ja noch der 2.
> Betrag...
Was meinst Du damit?
> werden das dann 4 Fallunterscheidungen?
Je nachdem, wie man es macht, sogar noch mehr...
A. [mm] f(x):=|x^2-4| [/mm] ist eine die Verkettung, es wird die Betragsfunktion |x| mit [mm] x^2-4 [/mm] verkettet. [mm] x^2-4 [/mm] ist überall diffbar, die Betragsfunktion |x| ist außer an der Stelle x=0 auch überall differenzierbar.
Ihr hattet bestimmt einen Satz, der sagt, daß die Kompositionen diffbarer Funktionen diffbar sind. Hier liefert er: [mm] f(x):=|x^2-4| [/mm] ist diffbar auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{2,-2\}.
[/mm]
Die beiden Stellen 2 und -2 mußt Du noch untersuchen.
Oder:
B. [mm] f(x):=|x^2-4| [/mm] steht für eine abschnittweise definierte Funktion, bestehend aus drei Abschnitten.
Untersuche die Diffbarkeit innerhalb der drei Abschnitte sowie die beiden Nahtstellen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Sa 09.05.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo dau2,
vielleicht hilft Dir ja auch die grafische Anschauung weiter - dann weißt Du schonmal das zu belegende Ergebnis. 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Sa 09.05.2009 | | Autor: | dau2 |
Jup, gezeichnet hatte ich die sogar :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Sa 09.05.2009 | | Autor: | dau2 |
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> > habe die Funktion [mm]|x^2-4|[/mm]
>
> Hallo,
>
> hat die womöglich auch einen Definitionsbereich? Ich denke,
> Du sollst sie auf ganz [mm]\IR[/mm] betrachten.
Ja
> > und soll bestimmen ob sie
> > differenzierbar ist, hänge bei der ersten
> > Fallunterscheidung:
> >
> > f'(x0) = [mm]\limes_{x\rightarrow x0}[/mm] = [mm]\bruch{f(x) - f(x0)}{x-x0}[/mm]
> > = [mm]\bruch{|x^2-4|-|x0^2-4|}{x-x0}[/mm]
>
> Ist es so aufwendig, einen Index zu setzen? "Mit" liest es
> sich einfach geschmeidiger...
Tut mir leid, hab ich unten überlesen das das geht.
> > Jetzt würde ich den ersten Betrag mit einer
> > Fallunterscheidung behandeln, aber da ist ja noch der 2.
> > Betrag...
>
> Was meinst Du damit?
Naja, ich hab ja beim Differenzquotienten [mm] f(x)-f(x_{0}), [/mm] das wäre hier ja: [mm] |x^2-4|-|x_{0}^2-4|
[/mm]
Achso, das würde dann 2 Fallunterscheidungen für den ersten Betrag geben und für diese 2 Fallunterscheidungen jeweils noch 2 für den 2. Betrag.
> > werden das dann 4 Fallunterscheidungen?
>
> Je nachdem, wie man es macht, sogar noch mehr...
>
> A. [mm]f(x):=|x^2-4|[/mm] ist eine die Verkettung, es wird die
> Betragsfunktion |x| mit [mm]x^2-4[/mm] verkettet. [mm]x^2-4[/mm] ist überall
> diffbar, die Betragsfunktion |x| ist außer an der Stelle
> x=0 auch überall differenzierbar.
> Ihr hattet bestimmt einen Satz, der sagt, daß die
> Kompositionen diffbarer Funktionen diffbar sind. Hier
> liefert er: [mm]f(x):=|x^2-4|[/mm] ist diffbar auf [mm]\IR[/mm] \ [mm]\{2,-2\}.[/mm]
>
> Die beiden Stellen 2 und -2 mußt Du noch untersuchen.
Ups, ja das sind die Stellen für die es überprüft werden soll.
Also werden es viele Fallunterscheidungen oder gibt es da einen kürzeren Weg?
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> > A. [mm]f(x):=|x^2-4|[/mm] ist eine die Verkettung, es wird die
> > Betragsfunktion |x| mit [mm]x^2-4[/mm] verkettet. [mm]x^2-4[/mm] ist überall
> > diffbar, die Betragsfunktion |x| ist außer an der Stelle
> > x=0 auch überall differenzierbar.
> > Ihr hattet bestimmt einen Satz, der sagt, daß die
> > Kompositionen diffbarer Funktionen diffbar sind. Hier
> > liefert er: [mm]f(x):=|x^2-4|[/mm] ist diffbar auf [mm]\IR[/mm] \ [mm]\{2,-2\}.[/mm]
> >
> > Die beiden Stellen 2 und -2 mußt Du noch untersuchen.
>
> Ups, ja das sind die Stellen für die es überprüft werden
> soll.
> Also werden es viele Fallunterscheidungen oder gibt es da
> einen kürzeren Weg?
Hallo,
so ganz klar ist mir immer noch nicht, was Du mit diesen "Fallunterscheidungen " meinst.
Du mußt doch für die Frage nach der Diffbarkeit jetzt den Limes des Differenzenquotienten für jeweils 2 und -2 untersuchen.
Dazu mußt Du herausfinden, ob dieser Limes interessiert.
Mal angenommen, Du stellst fest, daß die Lim von rechts und von links verschieden ist - die graphische darstellung deutet streng darauf hin -, dann existiert dieser Grenzwert nicht, also ist die Funktion nicht diffbar.
Falls Du mit Deinen Fallunterscheidungen jetzt die Grenzwerte von rechts und von links meinst: ja, das wären 4.
Ich glaube nicht, daß man das stark verkürzen kann und muß: der Aufwand hält sich doch in Grenzen...
Gruß v. Angela
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