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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:18 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Uni_Anfaenger,
> ok, soweit habe ich alles verstanden.
> Aber wie ich den Kern und das Bild errechne weiß ich nicht.
>
> Kannst du mir da bitte nochmal weiterhelfen. Lieben Dank
Wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt.
Gegeben sei eine lineare Abbildung $f: [mm] V\to [/mm] W$ mit [mm] $\dim [/mm] V=n$ und [mm] $\dim [/mm] W=m$.
[mm] \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\end{matrix}
[/mm]
[mm] $\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\end{matrix}$
[/mm]
[mm]\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\end{matrix}[/mm]
[mm] \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2\\ 2\\ 2\\
2\\ 2\\ 2\\ 2\\
2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\end{matrix}
[/mm]
[mm]\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2\\ 2\\ 2\\
2\\ 2\\ 2\\ 2\\
2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\end{matrix}[/mm]
Der Kern einer Abbildung ist ja die Menge aller Vektoren aus V, die auf den Nullvektor [mm] $0\in [/mm] W$ abgebildet werden:
[mm] $\Kern(f)=\left\{v\in V\ |\ f(v)=0\right\}$
[/mm]
Hat man bereits die beschreibende Matrix A dieser linearer Abbildung vorliegen (dies ist eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] (bzgl. einer geeigneten Basis), für die gilt: $f(v)=A*v$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$), so reduziert sich die Bestimmung des Kerns auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems:
[mm] $\Kern(f)=\Kern(A)=\left\{v\in V\ :\ Av=0\right\}$
[/mm]
Das heißt, die Lösungsmenge dieses (homogenen) linearen Gleichungssystems ist zu bestimmen:
$Av=0$
[mm] $\gdw\ A*\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{0\\\vdots\\0}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \pmat{a_{11}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\ldots&a_{mn}}*\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{0\\\vdots\\0}$
[/mm]
[mm]\gdw\ \begin{array}{|ccccc}
a_{11}*v_1&+\ldots+&a_{1n}*v_n&=&0\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}*v_1&+\ldots+&a_{mn}*v_n&=&0\end{array}[/mm]
Wie man das Bild einer linearen Abbildung bestimmt.
Gegeben sei eine lineare Abbildung $f: [mm] V\to [/mm] W$ mit [mm] $\dim [/mm] V=n$ und [mm] $\dim [/mm] W=m$.
Das Bild einer Abbildung ist ja die Menge aller Vektoren aus W, zu denen es ein Urbild gibt:
[mm] $f(V)=\Bild(f)=\left\{w\in W\ |\ \exists v\in V\ :\ w=f(v)\right\}$
[/mm]
Hat man bereits eine Basis [mm] $\{v_1,\ldots,\v_n\}$ [/mm] von $V$ vorliegen, so wird das Bild von f von den Bildern der Basisvektoren aufgespannt:
[mm] $\Bild(f)=\left\langle f(v_1),\ldots,f(v_n)\right\rangle$
[/mm]
Ist die beschreibende Matrix A dieser linearer Abbildung bekannt (dies ist eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] (bzgl. einer geeigneten Basis), für die gilt: $f(v)=A*v$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$), so ist das Bild einfach der Span der Spaltenvektoren:
[mm] $\Bild(f)=\left\langle Ae_1,\ldots,Ae_n \right\rangle=\left\langle \vektor{a_{11}\\\vdots\\a_{m1}},\ldots,\vektor{a_{1n}\\\vdots\\a_{mn}} \right\rangle$
[/mm]
Um eine "kompaktere" Darstellung des Bildes zu erhalten, empfiehlt sich die Bestimmung einer Basis des Bildes.
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