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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Andi |
Bestimme die Vielfachheit der Nullstellen der Funktion [mm] p_k(x)=x^2+k+1, [/mm]
in Abhängigkeit von k.
Ich möchte zwei Wege angeben, um diese Aufgabe zu lösen.
1. Wir berechnen die Nullstellen über die  ABCFormel. Und schauen uns
die Diskriminante an.
2. Wir schauen uns den Graphen von [mm] p_k [/mm] an. Und betrachten die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Nun zum 1. Weg:
Die Funktionsgleichung lautet: [mm] p_k(x)=x^2+k+1
[/mm]
Wir suchen die Nullstellen [mm] p_k(x)=0 [/mm]
also [mm] 0=x^2+k+1 [/mm] dies kann man schreiben als: [mm] 0=1*x^2+0*x+(k+1)
[/mm]
also ist a=1, b=0, und c=k+1
dies setzen wir in die ABCFormel ein und erhalten:
[mm] x_{1;2}=\bruch{0 \pm \wurzel{0^2-4*1*(k+1)}}{2*1}
[/mm]
also
[mm] x_{1;2}=\bruch{ \pm \wurzel{-4*1*(k+1)}}{2*1}
[/mm]
Nun schauen wir uns die Diskriminante D=-4*1*(k+1) an:
Es gibt keine Nullstelle, wenn D<0 ist. Da man keine Wurzel aus etwas negativem ziehen kann.
-4*1*(k+1)<0
-4*(k+1)<0 | wir teilen durch (-4), dabei dreht sich das <-Zeichen um!
k+1>0 | wir ziehen auf beiden Seiten der Gleichung -1 ab
k>-1
Also wenn k größer als -1 ist, gibt es keine Nullstellen.
Es gibt genau eine Nullstelle, wenn D=0.
-4*1*(k+1)=0
-4*(k+1)=0 | :(-4)
k+1=0 | -1
k=-1
Es gibt eine doppelte Nullstelle bei k=-1
Es gibt zwei Nullstellen wenn D>0 ist.
-4*1*(k+1)>0 | :(-4) , dabei dreht sich das >-Zeichen wieder um
k+1<0 | -1
k<-1
Es gibt zwei einfache Nullstellen wenn k<-1 ist.
Nun zum 2. Weg:
Wir betrachten die Funktion [mm] p_k(x)=x^2+(k+1) [/mm]
Der Graph ist nichts anderes als die Normalparalbel [mm] (y=x^2) [/mm] um (k+1) nach oben oder unten verschoben.
Hier siehst du ein Bild auf dem drei Parabeln sind:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst also wenn k+1>0 ist, verschiebe ich meine Parabel nach oben.
Und ich habe somit keine Nullstellen, wenn k>-1 ist.
Wenn k+1=0 ist, verschiebe ich meine Normalparabel übehaupt nicht.
Und ich habe eine doppelte Nullstelle, wenn k=-1 ist.
Wenn k+1<0 ist, verschiebe ich meine Normalparabel nach unten.
Und somit erhalte ich zwei einfache Nullstellen, wenn k<-1 ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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