Termvereinfachung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Di 27.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo,
ich hab hier 3 kleinere Sachen, die ich zum einen nicht alleine lösen kann, und zum anderen gar nicht erst versteh:
Wär schön wenn ihr mir da nen kleinen Tipp geben könntet! 
[mm] 1)\bruch{sin^4(a)-cos^4(a)}{sin²(a)-cos²(a)}=1
[/mm]
hier wollt ich erstmal cos durch sin ersetzen, bin mir aber bei dem Zähler nicht sicher,ob ich das so überhaupt machen kann,weil es ja hoch 4 ist..? Und selbst wenn ich das machen könnte, käme ich dann auf:
[mm] \bruch{2sin^4(a)-1}{2sin²(a)-1}
[/mm]
2)Für welche Winkel [mm] \alpha [/mm] gelten die angegebenen Termvereinfachungen?
b) [mm] sin(\alpha)* \wurzel{1+tan²(\alpha)}=-tan(\alpha)
[/mm]
damit das stimmt müsste ja
[mm] \wurzel{1+tan²(\alpha)} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{cos(\alpha)} [/mm]
sein,oder?
wenn ich das jetzt erst quadriere und dann mit [mm] cos²(\alpha) [/mm] multipliziere komme ich auf:
[mm] cos²(\alpha)+sin²(\alpha)=1 [/mm]
Aber woher weiss ich jetzt,für welche Winkel diese Aufgabe gilt??
3)ich glaub das passt wahrscheinlich ganz gut zu 2)
Für welche Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen 0° und 360° gilt
[mm] cos(\alpha)= \wurzel{1-sin²(\alpha)}
[/mm]
Die Lösung ist: [mm] 0°\le \alpha \le [/mm] 360° oder 270° [mm] \le \alpha \le [/mm] 360°
Aber mir ist nicht ganz klar,warum das nur für diese Bereiche gilt, ich dachte die ganze Zeit,dass wäre eine allgemein gültige Aussage,die sich auf alle Winkel bezieht??
Nun ja,das wars auch "schon" ! Wäre schön wenn mir das jemand vielleicht ein bisschen entwirren könnte..
Danke!!
Liebe Grüße,
Kati
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> [mm]1)\bruch{sin^4(a)-cos^4(a)}{sin²(a)-cos²(a)}=1[/mm]
Hallo,
nimm mal oben die 3.binomische Formel.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Di 27.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke Angela,
ich glaub ich habs jetzt lösen können:
[mm] \bruch{sin^4(a)-cos^4(a)}{sin^2(a)-cos^2(a)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(sin^2(a)+cos^2(a))^2*(sin^2(a)-cos^2(a))^2}{sin^2(a)-(1-sin^2(a))}
[/mm]
[mm] =\bruch{1*(sin^2(a)+sin^2(a)-1)}{sin^2(a)+sin^2(a)-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{2sin^2(a)-1}{2sin^2(a)-1} [/mm] =1
Ich hoff das stimmt jetzt so! Nochmal vielen lieben Dank für den Hinweis mit der 3.binomischen Formel!!!
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> [mm]\bruch{sin^4(a)-cos^4(a)}{sin^2(a)-cos^2(a)}[/mm]
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> [mm]=\bruch{(sin^2(a)+cos^2(a))^2*(sin^2(a)-cos^2(a))^2}{sin^2(a)-(1-sin^2(a))}[/mm]
Hallo,
alles ist richtig, aber das "Wegmachen" des Cosinus hättest Du Dir sparen können. So könntest Du gleich kürzen:
[mm] \bruch{sin^4-cos^4}{sin^2-cos^2}=
[/mm]
[mm] \bruch{(sin^2+cos^2)(sin^2-cos^2)}{sin^2-cos^2}=sin^2+cos^2=1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> b) [mm]sin(\alpha)* \wurzel{1+tan²(\alpha)}=-tan(\alpha)[/mm]
>
> damit das stimmt müsste ja
> [mm]\wurzel{1+tan²(\alpha)}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{cos(\alpha)}[/mm]
> sein,oder?
[mm] 1+tan²(\alpha)
[/mm]
[mm] \wurzel{1+tan²(\alpha)}=\wurzel{\bruch{1}{cos^2\alpha}}
[/mm]
Jetzt denk mal in folgende Richtung: wann ist [mm] -\bruch{1}{cos(\alpha)} [/mm] negativ und wann positiv?
3. geht in der Tat in dieselbe Richtung.
Gruß v. Angela
P.S.: Wurzel aus irgendwas ist [mm] \ge [/mm] 0 .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 27.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Also:
$ [mm] -\bruch{1}{cos(\alpha)} [/mm] $ ist positiv wenn 90° [mm] \le \alpha \le [/mm] 270°
Ist das dann schon mein Ergebnis?
zu 3)
da hab ich auch erst gedacht, dass es darum geht wann der cosinus positiv ist- und das deckt sich ja auch mit den Intervallen,die in der Lösung angegeben sind! Nur ist es mir nicht ganz klar, warum ich nur nach positiven cosinus gucken muss? Weil generell ist es doch immer so,dass man nach dem Wurzelziehen 2 mögliche Lösungen hat, einmal positiv und einmal negativ (weils ja quadriert wieder positiv wird) und ich dachte,dass wäre hier auch nicht anders....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Di 27.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man es nicht explizit hinschreibt, meint man mit [mm] \wurzel{} [/mm] immer die positive Wurzel! und so ist das hier gemeint! [mm] 1-sin^2 [/mm] ist immer pos. aber cos kann ja bzw. ist negatif fuer Winkel zwischen 90 und 180˚, d.h. man muesste schreiben [mm] cos\alpha=+\wurzel(1-sin^2\alpha [/mm] fuer [mm] 0\le\\alpha\le90 [/mm] und [mm] 270˚\le \alpha \le [/mm] 450˚
und [mm] cos\alpha=-\wurzel(1-sin^2\alpha [/mm] fuer [mm] 90<\alpha<180.
[/mm]
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 27.03.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, danke dir, leduart!!
Ist mein Ergebnis von 2) richtig?
Liebe Grüße,
kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Di 27.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 war richtig
Gruss leduart
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