Termumformung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mi 20.10.2010 | | Autor: | bla234 |
| Aufgabe | [mm] f(x)=1-(\bruch{2k}{e^x+k})
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] F(x)=2\*ln(e^x+k)-x [/mm] eine Stammfunktion von f(x) ist. |
Ich habe F(x) abgeleitet und dabei kommt folgendes raus:
[mm] F'(x)=\bruch{e^x-k}{e^x+k} [/mm]
Schön und gut, wenn ich f(x) umforme komme ich zum gleichen Ergebniss wie ich ich in der Ableitung von F(x) gekommen bin:
[mm] f(x)=\bruch{e^x+k}{e^x+k}-\bruch{2k}{e^x+k}
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{e^x-k}{e^x+k} [/mm]
Aber wie kann ich F'(x) so umwandeln das f(x) in der ursprünglichen Form rauskommt?
|
|
| |
|
Hallo bla234,
> [mm]f(x)=1-(\bruch{2k}{e^x+k})[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]F(x)=2\*ln(e^x+k)-x[/mm] eine
> Stammfunktion von f(x) ist.
> Ich habe F(x) abgeleitet und dabei kommt folgendes raus:
> [mm]F'(x)=\bruch{e^x-k}{e^x+k}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Schön und gut, wenn ich f(x) umforme komme ich zum
> gleichen Ergebniss wie ich ich in der Ableitung von F(x)
> gekommen bin:
>
> [mm]f(x)=\bruch{e^x+k}{e^x+k}-\bruch{2k}{e^x+k}[/mm]
> [mm]f(x)=\bruch{e^x-k}{e^x+k}[/mm]
>
> Aber wie kann ich F'(x) so umwandeln das f(x) in der
> ursprünglichen Form rauskommt?
Addiere in [mm]F'(x)[/mm] eine "nahrhafte Null" im Zähler:
[mm]F'(x)=\frac{e^x-k}{e^x+k}=\frac{e^x-k\red{+2k-2k}}{e^x+k}=\frac{\left(e^x+k\right)-2k}{e^x+k}[/mm]
Klappt's nun?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ich weiß nicht, ob es vielleicht noch eleganter geht, aber die binomischen Formeln helfen hier weiter:
[mm] {F}'\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}-k}{{{e}^{x}}+k}=\frac{\left( {{e}^{x}}-k \right)\left( {{e}^{x}}+k \right)}{{{\left( {{e}^{x}}+k \right)}^{2}}}=\frac{{{e}^{2x}}-{{k}^{2}}}{{{\left( {{e}^{x}}+k \right)}^{2}}}= \\ [/mm]
[mm] \frac{{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}k+{{k}^{2}}-2{{e}^{x}}k-2{{k}^{2}}}{{{\left( {{e}^{x}}+k \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( {{e}^{x}}+k \right)}^{2}}-2{{e}^{x}}k-2{{k}^{2}}}{{{\left( {{e}^{x}}+k \right)}^{2}}}= \\ [/mm]
[mm] 1-\frac{2{{e}^{x}}k+2{{k}^{2}}}{{{\left( {{e}^{x}}+k \right)}^{2}}}=1-\frac{2k\left( {{e}^{x}}+k \right)}{{{\left( {{e}^{x}}+k \right)}^{2}}}=1-\frac{2k}{{{e}^{x}}+k}=f\left( x \right) \\ [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mi 20.10.2010 | | Autor: | bla234 |
Vielen Dank die erste Antwort war schnell und super.
Die Antwort von zumwinkel verstehe ich bei Umformung Nr. 4 nicht:
[mm] \frac{{{e}^{2x}}-{{k}^{2}}}{{{\left( {{e}^{x}}+k \right)}^{2}}}
[/mm]
[mm] =\frac{{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}k+{{k}^{2}}-2{{e}^{x}}k-2{{k}^{2}}}{{{\left( {{e}^{x}}+k \right)}^{2}}}
[/mm]
Woher bekommst du den Zähler?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo bla!
Hier wurde ebenfalls wie bei der anderen Lösung eine "nahrhafte Null" addiert.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Mi 20.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo,
um das mal zu sagen: die Umformung von schachuzipus ist doch um Klassen einfacher. Gewöhnliche Bruchrechnung...
Du könntest stattdessen auch die 1 mit in den Bruch nehmen, und sie dazu also ersetzen durch [mm] \bruch{e^x+k}{e^x+k}.
[/mm]
Genauso ist er doch auf die "nahrhafte Null" gekommen.
Grüße
reverend
|
|
|
|
