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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Tensorprodukt
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Tensorprodukt: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Mi 09.02.2005
Autor: Tito

Hallo

Nun bin ich mal wieder in der Situation vor einer Klausur zu stehen und habe noch eine Aufgabe auf meinem letzten Übungsblatt, zum Thema Tensorprodukt, zu lösen.

Mein Problem besteht darin, dass ich das Tensorprodukt an sich nicht verstehe und es könnte sein das in meiner Klausur eine Rechenaufgabe zu diesem Thema ran kommt.
Deshalb würde ich mich freuen, wenn mir jemand die folgende Aufgabe vielleicht "schön" erklären könnte, mit rechenschritte und warum dieser Rechenschritt, danke.

Die Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren [mm] v_1:= \vektor{2 \\ 0}, v_2:= \vektor{1 \\ 0 \\ 3}, v_3:= \vektor{0 \\ 3\\ 2\\ 1} [/mm]

schreibe für [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] v_3 [/mm] die Tensorprodukte: [mm] v_1 \otimes v_2 [/mm] , [mm] v_1 \otimes v_3 [/mm] , [mm] v_2 \otimes v_3 [/mm]

als Linearkombinationen der Form [mm] e_i \otimes e_j [/mm] .

Es wäre nett wenn man nur ein Tensorprodukt vorrechnet, oder ein Bsp. das analog zu meiner Aufgabe zu lösen ist, damit ich selbst noch rechnen kann, danke.

Gruß
Tito

        
Bezug
Tensorprodukt: Keine Angst davor!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Do 10.02.2005
Autor: Gnometech

Grüße!

Ich weiß, die Definition des Tensorproduktes ist zunächst schwer zu schlucken, vor allem, wenn diese mit Hilfe einer universellen Eigenschaft geschieht. Die formale Folge ist, dass man mit Tensorprodukten einfach bilinear rechnen kann. Ich mache es Dir einfach vor.

Also, es ist [mm] $v_1 \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $v_1 [/mm] = 2 [mm] e_1$ [/mm] und [mm] $v_2 \in \IR^3$ [/mm] mit [mm] $v_2 [/mm] = [mm] e_1 [/mm] + 3 [mm] e_3$. [/mm] Dann folgt:

[mm] $v_1 \otimes v_2 [/mm] = [mm] (2e_1) \otimes (e_1 [/mm] + 3 [mm] e_3) [/mm] = [mm] (2e_1) \otimes e_1 [/mm] + [mm] (2e_1) \otimes [/mm] (3 [mm] e_3) [/mm] = 2 [mm] (e_1 \otimes e_1) [/mm] + 6 [mm] (e_1 \otimes e_3)$ [/mm]

Einfach formal ausgerechnet. Mit bilinear rechnen meine ich also, dass ich Skalare aus den "Faktoren" des Produktes herausziehen kann und sie entlang Summen aufspalten kann. Das ist alles.

Viel Erfolg bei der Klausur!

Lars

Bezug
                
Bezug
Tensorprodukt: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Do 10.02.2005
Autor: Tito

Hallo und Danke Lars.

Ich werd mir die Sache mal genauer anschauen und meine Lösung, wenn ich es hin bekomme mal hier rein posten.

Gruß

Tito

Bezug
                
Bezug
Tensorprodukt: Lösungen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Do 10.02.2005
Autor: Tito

Hallo

Ok, dann hab ich das einfach so gerechnet:

Also das erste Tensorprodukt hast du ja schon errechnet.

> Also, es ist [mm]v_1 \in \IR^2[/mm] mit [mm]v_1 = 2 e_1[/mm] und [mm]v_2 \in \IR^3[/mm]
> mit [mm]v_2 = e_1 + 3 e_3[/mm]. Dann folgt:
>  
> [mm]v_1 \otimes v_2 = (2e_1) \otimes (e_1 + 3 e_3) = (2e_1) \otimes e_1 + (2e_1) \otimes (3 e_3) = 2 (e_1 \otimes e_1) + 6 (e_1 \otimes e_3)[/mm]

Ok meine weiteren Lösungen sind:

[mm] v_1:= \vektor{2 \\ 0} [/mm] = [mm] 2e_1 [/mm]  ,    [mm] v_2:= \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] = [mm] e_1 [/mm] + [mm] 3e_3 [/mm] ,   [mm] v_3:= \vektor{0 \\ 3 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] 3e_2 [/mm] + [mm] 2e_3 [/mm] + [mm] e_4 [/mm]

[mm] v_1 \otimes v_3 = (2e_1) \otimes (3e_2 + 2e_3 + e_4) = 2e_1 \otimes 3e_2 + 2e_1 \otimes 2e_3 + 2e_1 \otimes e_4 = 6(e_1 \otimes e_2) + 4(e_1 \otimes e_3) + 2(e_1 \otimes e_4) [/mm]

und

[mm] v_2 \otimes v_3 = (e_1 + 3e_3) \otimes (3e_2 + 2e_3 + e_4) = e_1 \otimes 3e_2 + e_1 \otimes 2e_3 + e_1 \otimes e_4 + 3e_3 \otimes 3e_2 + 3e_3 \otimes 2e_3 + 3e_3 \otimes e_4 = 3(e_1 \otimes e_2) + 2(e_1 \otimes e_3) + (e_1 \otimes e_4) + 9(e_3 \otimes e_2) + 6(e_3 \otimes e_3) + 3(e_3 \otimes e_4) [/mm].

Ok ich hoffe das stimmt so. Jetzt hab ich verstanden wie man rechnet, das ist auch nicht wirklich schwer, jetzt muss ich nur noch verstehen warum man so rechnet ;-).

Gruß

Tito

Bezug
                        
Bezug
Tensorprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Fr 11.02.2005
Autor: Paulus

Lieber Tito

Soweit ich das beurteilen kann, stimmt alles, bis auf den kleinen Tippfehler:

> > Also, es ist [mm]v_1 \in \IR^2[/mm] mit [mm]v_1 = 2 e_1[/mm] und [mm]v_2 \in \IR^3[/mm]
>
> > mit [mm]v_2 = e_1 + 3 e_3[/mm]. Dann folgt:
>  >  
> > [mm]v_1 \otimes v_2 = (2e_1) \otimes (e_1 + 3 e_3) = (2e_1) \otimes e_1 + (2e_1) \otimes (3 e_3) = 2 (e_1 \otimes e_1) + 6 (e_1 \otimes e_3)[/mm]
>  
>
> Ok meine weiteren Lösungen sind:
>  
> [mm]v_1:= \vektor{2 \\ 0}[/mm] = [mm]2e_1[/mm]  ,    [mm]v_2:= \vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
> = [mm]e_1[/mm] + [mm]3e_3[/mm] ,   [mm]v_3:= \vektor{0 \\ 3 \\ 2 \\ 1}[/mm] = [mm]3e_2[/mm] +
> [mm]2e_3[/mm] + [mm]e_4 [/mm]
>  
> [mm]v_1 \otimes v_3 = (2e_1) \otimes (3e_2 + 2e_3 + e_4) = 2e_1 \otimes 3e_2 + 2e_1 \otimes 2e_3 + 2e_1 \otimes e_4 = 6(e_1 \otimes e_2) + 4(e_1 \otimes e_3) + 2(e_1 \otimes e_4)[/mm]
>  
>

[ok] Hey, du hast inzwischen den Fehler ja korrigiert! Super!!

Dann scheint alles zu stimmen!

> und
>  
> [mm]v_2 \otimes v_3 = (e_1 + 3e_3) \otimes (3e_2 + 2e_3 + e_4) = e_1 \otimes 3e_2 + e_1 \otimes 2e_3 + e_1 \otimes e_4 + 3e_3 \otimes 3e_2 + 3e_3 \otimes 2e_3 + 3e_3 \otimes e_4 = 3(e_1 \otimes e_2) + 2(e_1 \otimes e_3) + (e_1 \otimes e_4) + 9(e_3 \otimes e_2) + 6(e_3 \otimes e_3) + 3(e_3 \otimes e_4) [/mm].
>  

[ok]


Na dann, viel Erfolg bei der Prüfug! [kleeblatt]

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
                                
Bezug
Tensorprodukt: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Fr 11.02.2005
Autor: Tito

Hallo Paul

Danke, ja der Tippfehler ist mir vorhin noch aufgefallen ;-).

Gruß
Tito

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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