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| Aufgabe | Es seien V und W endlich dimensionale Vektorräume über dem Körper K. Man zeige: Die Vorschrift
f [mm] \otimes [/mm] g [mm] \mapsto [/mm] T(f,g)
beschreibt einen Isomorphismus
End(V) [mm] \otimes [/mm] End(W) [mm] \to [/mm] End(V [mm] \otimes [/mm] W) |
Also um ehrlich zu sein, bin ich noch nicht so weit gekommen. Ich habe jetzt zwar so ungefähr verstanden, was ein Tensorprodukt ist, aber mit der Aufgabe nichts anfangen. Vor allem: Was soll T(f,g) sein?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Sa 30.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien V und W endlich dimensionale Vektorräume über dem
> Körper K. Man zeige: Die Vorschrift
> f [mm]\otimes[/mm] g [mm]\mapsto[/mm] T(f,g)
> beschreibt einen Isomorphismus
> End(V) [mm]\otimes[/mm] End(W) [mm]\to[/mm] End(V [mm]\otimes[/mm] W)
>
> Also um ehrlich zu sein, bin ich noch nicht so weit
> gekommen. Ich habe jetzt zwar so ungefähr verstanden, was
> ein Tensorprodukt ist, aber mit der Aufgabe nichts
> anfangen. Vor allem: Was soll T(f,g) sein?
Wenn du einen Homomorphismus $f : V [mm] \to [/mm] V'$ hast und einen Homomorphismus $g : W [mm] \to [/mm] W'$, dann gibt es genau einen Homomorphismus $h : V [mm] \otimes [/mm] W [mm] \to [/mm] V' [mm] \otimes [/mm] W'$ mit $h(v [mm] \otimes [/mm] w) = f(v) [mm] \otimes [/mm] f(w)$ fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$, $w [mm] \in [/mm] W$. Diese Aussage hattet ihr sicher mal irgendwo im Skript/in der Vorlesung.
So. Jetzt sei $W = W'$ und $V = V'$, also $f [mm] \in [/mm] End(V)$, $g [mm] \in [/mm] End(W)$. Dann soll $T(f, g)$ einfach dieser eindeutig bestimmte Homomorphismus $h : V [mm] \otimes [/mm] W [mm] \to [/mm] V [mm] \otimes [/mm] W$ mit $h(v [mm] \otimes [/mm] w) = f(v) [mm] \otimes [/mm] f(w)$ fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$, $w [mm] \in [/mm] W$ sein.
(Wenn man sich das ganze fuer Matrizen anschaut, ist $T(f, g)$ einfach das Kroneckerprodukt der Matrizen von $f$ und von $g$ -- wenn dir `Kroneckerprodukt' was sagt, hilft dir das evtl. Das Kroneckerprodukt hat uebrigens nichts mit dem Kroneckersymbol/Kroneckerdelta zu tun.)
So, nun zur Aufgabe. Du musst folgendes zeigen:
* Die Zuordnung ist linear. Dazu verwendest du am besten die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes und zeigst zuerst, dass $T : End(V) [mm] \times [/mm] End(W) [mm] \to [/mm] End(V [mm] \otimes [/mm] W)$, $(f, g) [mm] \mapsto [/mm] T(f, g)$ eine bilineare Abbildung ist. Dies induziert dir dann die gesuchte lineare Abbildung.
* Dann musst du zeigen, dass die lineare Abbildung injektiv oder surjektiv ist. Zeige am Besten, dass sie surjektiv ist. Dazu nimm dir eine Basis von $V$ und eine von $W$ und gib damit eine von $V [mm] \otimes [/mm] W$ an. Kannst du damit eine Basis von $End(V [mm] \otimes [/mm] W)$ angeben, und jedes Basiselement in der Form [mm] $\sum_{i=1}^k T(f_i, g_i)$ [/mm] schreiben mit [mm] $f_i \in [/mm] End(V)$, [mm] $g_i \in [/mm] End(W)$? In dem Fall ist die Abbildung surjektiv.
* Wenn du weisst, das es ein surjektiver Homomorphismus ist, dann kannst du entweder zeigen, dass er auch injektiv ist (das ist nicht so einfach), oder du zeigst, dass $End(V) [mm] \otimes [/mm] End(W)$ und $End(V [mm] \otimes [/mm] W)$ die gleiche (endliche) Dimension haben: das ist hier viel einfacher! Gerade wenn du dich schon mit einer Basis von $End(V [mm] \otimes [/mm] W)$ auseinandergesetzt hast... (bei der Surjektivitaet)
LG Felix
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Also ersteinmal Danke für die Schnelle Antwort!!! Das ist echt eine große Hilfe für mich!
Ich habe mich jetzt mit der Bilineariät beschäftig und habe folgendes geschrieben:
[mm]h((v_{1}+v_{2}) \optimes w) =
f(v_{1} + v_{2}) \optimes f(w)
(f(v_{1})+f(v_{2})) \optimes f(w)
=f(v_{1}) \otimes f(w) + f(v_{2}) \otimes f(w)
=h(v_{1} \otimes w) + h(v_{2} \otimes w)
[/mm]
und
[mm]
h(v \otimes (w_{1} + w_{2})) = f(v) \otimes f(w_{1} + w_{2})
=f(v) \otimes f(w_{1})+f(w_{2}))
=f(v) \otimes f(w_{1}) + f(v) \otimes f(w_{2})
=h(v \otimes w_{1}) + h(v \otimes w_{2})
[/mm]
und
[mm]
h(\lambda v+w)=f(\lambda v) \otimes f(w)
=\lambda f(v) \otimes f(w)
=\lambda (f(v)\otimes f(w))
=\lambda h(v+w)
[/mm]
und
[mm]
h(v+ \lambda w)=f(v) \otimes f(\lambda w)
=f(v) \otimes \lambda f(w)
=\lambda (f(v)\otimes f(w))
=\lambda h(v+w)
[/mm]
Ist das so richtig oder total am Ansatz vorbei?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 30.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also ersteinmal Danke für die Schnelle Antwort!!! Das ist
> echt eine große Hilfe für mich!
> Ich habe mich jetzt mit der Bilineariät beschäftig und habe
> folgendes geschrieben:
> [mm]h((v_{1}+v_{2}) \otimes w) =
f(v_{1} + v_{2}) \otimes f(w)
(f(v_{1})+f(v_{2})) \otimes f(w)
=f(v_{1}) \otimes f(w) + f(v_{2}) \otimes f(w)
=h(v_{1} \otimes w) + h(v_{2} \otimes w)
[/mm]
Sorry, das und die anderen Gleichungen passen hier leider nicht hin. Das hat hoechstens was mit der Definition von $T(f, g)$ zu tun, aber die hast du laut Skript/Vorlesung schon. Oder?
(Und wenn schon ist $h$ definiert als $h(v, w) = f(v) [mm] \otimes [/mm] g(w)$ und nicht durch $h(v [mm] \otimes [/mm] w) = f(v) [mm] \otimes [/mm] g(w)$; dann waer es naemlich nicht bilinear, sondern linear. Die dadurch induzierte Funktion $T(f, g) : V [mm] \otimes [/mm] W [mm] \to [/mm] V [mm] \otimes [/mm] W$ ist linear und erfuellt $T(f, g)(v [mm] \otimes [/mm] w) = f(v) [mm] \otimes [/mm] g(w)$.)
Du musst nichts fuer $h$ nachrechnen, sondern fuer die Abbildung $T$. Du nimmst also Endomorphismen $f, [mm] f_1, f_2 \in [/mm] End(V)$, $g, [mm] g_1, g_2 \in [/mm] End(W)$ und Skalare [mm] $\lambda, \mu \in [/mm] K$ und rechnest nach, dass [mm] $T(\lambda f_1 [/mm] + [mm] f_2, [/mm] g) = [mm] \lambda T(f_1, [/mm] g) + [mm] T(f_2, [/mm] g)$ und $T(f, [mm] \mu g_1 [/mm] + [mm] g_2) [/mm] = [mm] \mu [/mm] T(f, [mm] g_1) [/mm] + T(f, [mm] g_2)$ [/mm] ist. Dabei musst du aufpassen, dass dies alles jeweils Endomorphismen von $V [mm] \otimes [/mm] W$ sind.
Das macht das ganze ein wenig tricky, da die $T$s durch universelle Eigenschaften definiert sind.
Ich rechne dir mal den Fall [mm] $T(f_1 [/mm] + [mm] f_2, [/mm] g) = [mm] T(f_1, [/mm] g) + [mm] T(f_2, [/mm] g)$ vor. Da zwei lineare Abbildungen uebereinstimmen, wenn sie fuer ein Erzeugendensystem (hier: von $V [mm] \otimes [/mm] W$) uebereinstimmen, reicht es, dies fuer ein Erzeugendensystem zu zeigen.
Nun wird $V [mm] \otimes [/mm] W$ von den $v [mm] \otimes [/mm] w$ mit $v [mm] \in [/mm] V$, $w [mm] \in [/mm] W$ erzeugt (jedes Element aus $V [mm] \otimes [/mm] W$ ist eine endliche Summe von solchen Elementen). Also reicht es, [mm] $T(f_1 [/mm] + [mm] f_2, [/mm] g)(v [mm] \otimes [/mm] w) = [mm] T(f_1, [/mm] g)(v [mm] \otimes [/mm] w) + [mm] T(f_2, [/mm] g)(v [mm] \otimes [/mm] w)$ fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$, $w [mm] \in [/mm] W$ nachzurechnen.
Nun ist jedoch [mm] $T(f_1 [/mm] + [mm] f_2, [/mm] g)(v [mm] \otimes [/mm] w)$ nach Definition gerade [mm] $(f_1 [/mm] + [mm] f_2)(v) \otimes [/mm] g(w)$, und da [mm] $\otimes$ [/mm] bilinear ist, ist dies gleich [mm] $f_1(v) \otimes [/mm] g(w) + [mm] f_2(v) \otimes [/mm] g(w)$.
Weiterhin ist [mm] $T(f_1, [/mm] g)(v [mm] \otimes [/mm] w) + [mm] T(f_2, [/mm] g)(v [mm] \otimes [/mm] w)$ per Definition direkt [mm] $f_1(v) \otimes [/mm] g(w) + [mm] f_2(v) \otimes [/mm] g(w)$. Also stimmen die beiden auf einem Erzeugendensystem von $V [mm] \otimes [/mm] W$ ueberein und somit auf ganz $V [mm] \otimes [/mm] W$, und damit ist [mm] $T(f_1, [/mm] g) + [mm] T(f_2, [/mm] g) = [mm] T(f_1 [/mm] + [mm] f_2, [/mm] g)$.
LG Felix
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Ok, alles klar, das mit der Bilinearität habe ich jetzt gezeigt.
Habe mich auch an der Surjektivität versucht:
Sei [mm]v \otimes w[/mm] eine Basis von [mm]V \otimes W[/mm], [mm]a[/mm] die darstellende Matrix von [mm]f[/mm] und [mm]b[/mm] die darstellende Matrix von [mm]g[/mm]. Dann haben wir:
[mm]v \otimes w =
\summe_{i=1}^{k}a_{i}v_{i} \otimes \summe_{i=1}^{k}b_{i}w_{i}
=\summe_{i=1}^{k}f(v_{i}) \otimes \summe_{i=1}^{k}g(w_{i})
=\summe_{i=1}^{k}(f(v_{i} \otimes g(w_{i}))
=\summe_{i=1}^{k}T(f_{i}g_{i})
[/mm]
Ist das wohl richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
> Ok, alles klar, das mit der Bilinearität habe ich jetzt
> gezeigt.
> Habe mich auch an der Surjektivität versucht:
> Sei [mm]v \otimes w[/mm] eine Basis von [mm]V \otimes W[/mm],
Was meinst du damit? Was ist $v$, was ist $w$? Das gilt nur, wenn $V$ und $W$ beide eindimensional sind und $v [mm] \in [/mm] V$, $w [mm] \in [/mm] W$ jeweils nicht 0 sind.
Sei [mm] $\{ v_1, \dots, v_n \}$ [/mm] eine Basis von $V$ und [mm] $\{ w_1, \dots, w_m \}$ [/mm] eine Basis von $W$. Schreib mal konkret eine Basis von $V [mm] \otimes [/mm] W$ hin.
> [mm]a[/mm] die
> darstellende Matrix von [mm]f[/mm] und [mm]b[/mm] die darstellende Matrix von
> [mm]g[/mm]. Dann haben wir:
Also [mm] $f(\sum_{j=1}^n \lambda_j v_j) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \lambda_j v_i$? [/mm] Und [mm] $g(\sum_{j=1}^n \lambda_j w_j) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij} \lambda_j w_i$?
[/mm]
> [mm]v \otimes w =
\summe_{i=1}^{k}a_{i}v_{i} \otimes \summe_{i=1}^{k}b_{i}w_{i}
=\summe_{i=1}^{k}f(v_{i}) \otimes \summe_{i=1}^{k}g(w_{i})
=\summe_{i=1}^{k}(f(v_{i} \otimes g(w_{i}))
=\summe_{i=1}^{k}T(f_{i}g_{i})
[/mm]
>
> Ist das wohl richtig?
Was ist [mm] $f_i$ [/mm] und was ist [mm] $g_i$? [/mm] Und i.A. kannst du nicht einfach [mm] $\sum_i a_i \otimes \sum_i b_i$ [/mm] zu [mm] $\sum_i (a_i \otimes b_i)$ [/mm] zusammenfassen, sondern nur zu [mm] $\sum_i \sum_j (a_i \otimes b_j)$. [/mm] Beachte, dass es zwei verschiedene Summen sind!
Zur Loesung der Aufgabe hilft dir das allerdings noch nicht weiter.
Wie kannst du eine Basis von $End(V)$ angeben, wenn du eine Basis [mm] $\{ v_1, \dots, v_n \}$ [/mm] von $V$ hast?
Wenn du das beantwortet hast, wie wendest du es mit der Basis von $V [mm] \otimes [/mm] W$ an, um eine Basis von $End(V [mm] \otimes [/mm] W)$ zu bekommen?
Kuemmer dich doch mal zuerst dadrum.
LG Felix
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