Temperaturverteilung im stab < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Mo 26.03.2007 | | Autor: | spektrum |
| Aufgabe | Wämeleitungsgleichung:
[mm] \partial u/\partial [/mm] v = [mm] \alpha^2 \partial^2 [/mm] u / [mm] \partial s^2 [/mm]
mit randbedingungen:
u(0,t) = 0, [mm] \partial u/\partial [/mm] s (L,t) + [mm] \sigma [/mm] u(L,t)=0 für alle t [mm] \ge [/mm] 0
und anfangsbedinungen:
u(s,0)=f(s) für 0 [mm] \le s\le [/mm] L
L ist die Länge des Stabes.
zz. Wenn die Reihe
u(s,t):= [mm] \summe A_{n} sin(\wurzel{\lambda_{n}} [/mm] s) [mm] e^{-\lambda_{n}a^2t} [/mm]
konvergiert und die Ableitungen [mm] \partial u/\partial [/mm] t, [mm] \partial^2/\partial s^2 [/mm] durch gliedweise differentation gewonnen werden können, ist u(s,t) eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung, die den RANDBEDINUNGEN genügt.
( [mm] u_{n}= A_{n} sin(\wurzel{\lambda_{n}} [/mm] s) [mm] e^{-\lambda_{n}a^2t} [/mm] ) |
halli hallo!
ich habe diese aufgabe folgendermaßen zu lösen versucht:
es gilt doch folgendes:
die dgl. und die RB sind linear und homogen, also ist jede endliche Summe von lösungen [mm] u_{n} [/mm] eine lösung der Dgl. und RB.
Für die unendliche Summe gilt das auch, wenn die unendliche summe konvergiert (dafür muss man ein bestimmtes [mm] A_{n} [/mm] wählen, und das ist ja eigentlich immer möglich) und die ableitung durch gliedweise differentation gewonnen werden können.
also ist die aufgabe eigentlich schon gelöst oder bin ich da ein bisschen zu schnell??
vielen dank schon mal im voraus für eure vorschläge!
lg spektrum
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Di 17.04.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo!
ich frage einfach noch einmal nach!
kann mir bitte jemand die richtigkeit meiner annahmen bestätigen oder widerlegen?
bin für jeden tipp dankbar!
lg spektrum
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wämeleitungsgleichung:
>
> [mm]\partial u/\partial[/mm] v = [mm]\alpha^2 \partial^2[/mm] u / [mm]\partial s^2[/mm]
>
>
> mit randbedingungen:
>
> u(0,t) = 0, [mm]\partial u/\partial[/mm] s (L,t) + [mm]\sigma[/mm] u(L,t)=0
> für alle t [mm]\ge[/mm] 0
>
> und anfangsbedinungen:
>
> u(s,0)=f(s) für 0 [mm]\le s\le[/mm] L
>
> L ist die Länge des Stabes.
>
> zz. Wenn die Reihe
>
> u(s,t):= [mm]\summe A_{n} sin(\wurzel{\lambda_{n}}[/mm] s)
> [mm]e^{-\lambda_{n}a^2t}[/mm]
>
> konvergiert und die Ableitungen [mm]\partial u/\partial[/mm] t,
> [mm]\partial^2/\partial s^2[/mm] durch gliedweise differentation
> gewonnen werden können, ist u(s,t) eine Lösung der
> Wärmeleitungsgleichung, die den RANDBEDINUNGEN genügt.
>
> ( [mm]u_{n}= A_{n} sin(\wurzel{\lambda_{n}}[/mm] s)
> [mm]e^{-\lambda_{n}a^2t}[/mm] )
> halli hallo!
>
> ich habe diese aufgabe folgendermaßen zu lösen versucht:
>
> es gilt doch folgendes:
>
> die dgl. und die RB sind linear und homogen, also ist jede
> endliche Summe von lösungen [mm]u_{n}[/mm] eine lösung der Dgl. und
> RB.
>
> Für die unendliche Summe gilt das auch, wenn die unendliche
> summe konvergiert (dafür muss man ein bestimmtes [mm]A_{n}[/mm]
> wählen, und das ist ja eigentlich immer möglich) und die
> ableitung durch gliedweise differentation gewonnen werden
> können.
>
>
> also ist die aufgabe eigentlich schon gelöst oder bin ich
> da ein bisschen zu schnell??
>
Damit sollte die aufgabe geloest sein, ja.
> vielen dank schon mal im voraus für eure vorschläge!
>
> lg spektrum
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Mi 25.04.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo matthias!
vielen lieben dank für deine Antwort!!
lg spektrum
|
|
|
|
