Temperaturkoeffizient-Aufgabe < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:38 Sa 04.04.2015 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | Man betrachte die Widerstände [mm] R_{Ag} [/mm] und [mm] R_{C} [/mm] in Serie, wobei der eine aus Silber und der andere aus Graphit besteht.
Der Temperaturkoeffizient [mm] alpha_{Ag} [/mm] beträgt 3.8 * [mm] 10^{-3} [/mm] 1/K und [mm] alpha_{C} [/mm] beträgt -0.2 * 10{-3} 1/K.
1) Ist es möglich einen Gesamtwiderstand aus den Materialien herzustellen, dessen Temperaturkoeffizient [mm] alpha_{Res} [/mm] = 5 * [mm] 10^{-3} [/mm] 1/K beträgt?
2) Ein Widerstand mit [mm] R_{Res} [/mm] = 100 Ohm bei T = 20° C soll hergestellt werden. Sein Tempereraturkoeffizient [mm] alpha_{Res} [/mm] soll 1,0 * [mm] 10^{-3} [/mm] 1/K betragen |
Ein herzliches Hallo an euch, liebe Community.
Ich stehe bei folgender Aufgabe auf dem Schlauch.
Ich habe ja die Formel für einen Widerstand in Abhängigkeit von T gegeben. R(T) [mm] \approx R_{0} [/mm] (1 + alpha * [mm] \Delta [/mm] t).
Jedoch weiß ich nicht, wie ich diese Aufgabe angehen soll, da ich ja gar keinen Bezugswiderstand [mm] R_{0} [/mm] von den beiden Widerständen gegeben habe.
Bzw. kann ich 100 Ohm als Bezugswiderstand [mm] R_{0} [/mm] des Gesamtwiderstandes wählen?
Ich verstehe generell nicht, wie man beide Widerstände zu kombinieren hat.
Könnt ihr mir helfen, diese Aufgabe zu lösen?
Ich wäre über jeden Tipp von euch sehr dankbar!
Ein frohes Osterfest wünscht,
Christian 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Sa 04.04.2015 | | Autor: | GvC |
> Jedoch weiß ich nicht, wie ich diese Aufgabe angehen soll,
> da ich ja gar keinen Bezugswiderstand [mm]R_{0}[/mm] von den beiden
> Widerständen gegeben habe.
Zu 1) brauchst Du keinen Bezugswiderstand. Die Antwort beschränkt sich auf ein einfaches Ja oder Nein.
Bei 2) ist die Bezugstemperatur und der Bezugswiderstand der Reihenschaltung gegeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Sa 04.04.2015 | | Autor: | X3nion |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Sa 04.04.2015 | | Autor: | GvC |
>
> Ich verstehe generell nicht, wie man beide Widerstände zu
> kombinieren hat.
Das steht in der Aufgabenstellung. Die beiden Widerstände sollen in Reihe geschaltet werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Sa 04.04.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
Ja das weiß ich, dennoch kann ich noch nichts mit der Aufgabe anfangen.
Was passiert denn mit den Temperaturkoeffizienten bei Addition der Widerstände, addieren sie sich einfach mit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Sa 04.04.2015 | | Autor: | GvC |
> Hallo!
> Ja das weiß ich, dennoch kann ich noch nichts mit der
> Aufgabe anfangen.
> Was passiert denn mit den Temperaturkoeffizienten bei
> Addition der Widerstände, addieren sie sich einfach mit?
Wie die Formel für einen temperaturabhängigen Widerstand aussieht, weißt Du ja. Addiere mal zwei temperaturabhängige Widerstände und schreibe hier auf, was dabei rauskommt. Dann sehen wir weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 So 05.04.2015 | | Autor: | X3nion |
Okay alles klar.
Die Formel, die nur den Temperaturkoeffizienten alpha enthält, beschreibt ja anhand der Taylor-Reihe ersten Grades eine Approximierung an die Kurve der Widerstandsänderung in der Entwicklungsstelle [mm] R_{0}. [/mm] (Zumindest hoffe ich, dass ich das soweit korrekt verstanden habe.
Somit beschreibt dann doch die Formel die Widerstandsänderung je erhöhter Temperatur bezogen auf den Bezugswiderstand [mm] R_{0}.
[/mm]
Somit benötige ich dann doch einen [mm] R_{10} [/mm] bei 20°C des Silber-Widerstands und einen [mm] R_{20} [/mm] des Graphit-Widerstands, wobei [mm] R_{10} [/mm] + [mm] R_{20} [/mm] = [mm] R_{30} [/mm] ergeben müssen, folglich den Bezugspunkt [mm] (R_{30} [/mm] = 100 Ohm) des Gesamtwiderstandes.
Oder liege ich hier nicht richtig?
Alles in allem komme ich ja bei der Addition des Verlaufs zweiter temperaturabhängiger Widerstände auf folgende Formel:
[mm] R_{ges} [/mm] (t) = [mm] R_{10} \* [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{R_{10}} \* \bruch{\partial R}{\partial T} \* [/mm] (T - [mm] T_{0})) [/mm] + [mm] R_{20} \* [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{R_{20}} \* \bruch{\partial R}{\partial T} \* [/mm] (T - [mm] T_{0})).
[/mm]
Ich kann ja nun die Additionsformel vereinfachen, denn der Term [mm] \bruch{1}{R_{0}} \* \bruch{\partial R}{\partial T} [/mm] ist ja mein [mm] \alpha.
[/mm]
Ich habe ja nun gegeben [mm] \alpha_{R1} [/mm] = 3.8 [mm] \* 10^{-3} \* [/mm] 1/K und [mm] \alpha_{R2} [/mm] = -0.2 [mm] \* 10^{-3} \* [/mm] 1/K.
1) [mm] R_{ges} [/mm] (t) = [mm] R_{10} \* [/mm] (1 + [mm] \alpha_{R1} \* [/mm] (T - [mm] T_{0})) [/mm] + [mm] R_{20} \* [/mm] (1 + [mm] \alpha_{R2} \* [/mm] (T - [mm] T_{0})).
[/mm]
2) Nun: [mm] R_{ges} [/mm] (t) hat ja die Form:
[mm] R_{ges} [/mm] = [mm] R_{30} \* [/mm] (1 + [mm] \alpha_{R3} \* (T-T_{0})
[/mm]
= [mm] R_{30} [/mm] + [mm] \alpha_{R3} [/mm] (T - [mm] T_{0})
[/mm]
Wenn ich die erste Gleichung ausrechne, erhalte ich ja:
1) [mm] R_{10} [/mm] + [mm] R_{20} [/mm] + [mm] R_{10} \alpha_{R1} [/mm] (T - [mm] T_{0}) [/mm] + [mm] R_{20} \alpha_{R2} [/mm] (T - [mm] T_{0})
[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich komme ich ja nun auf folgende Übereinstimmungen:
[mm] R_{30} [/mm] = [mm] R_{10} [/mm] + [mm] R_{20}
[/mm]
und [mm] \alpha_{R3} [/mm] = [mm] R_{10} \alpha_{R1} [/mm] + [mm] R_{20} \alpha_{R2}.
[/mm]
Ist denn meine Rechnung bis hierhin richtig?
Ich könnte ja nun durch ausdrücken von [mm] R_{10} [/mm] als [mm] R_{30} [/mm] - [mm] R_{20} [/mm] und Einsetzen in der anderen Gleichung die Werte von [mm] R_{10} [/mm] und [mm] R_{20} [/mm] ausrechnen.
Aber mit der Temperatur 20°C = 293.15 Kelvin hätte ich ja dann gar nicht gerechnet.
Frohe Ostern wünscht und über eine weitere Antwort freut sich,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 So 05.04.2015 | | Autor: | GvC |
> ...
> [mm]R_{30}[/mm] = [mm]R_{10}[/mm] + [mm]R_{20}[/mm]
> und [mm]\alpha_{R3}[/mm] = [mm]R_{10} \alpha_{R1}[/mm] + [mm]R_{20} \alpha_{R2}.[/mm]
>
>
> Ist denn meine Rechnung bis hierhin richtig?
>
Nein. Die zweite Gleichung stimmt dimensionsmäßig nicht. Da fehlt noch was.
> Aber mit der Temperatur 20°C = 293.15 Kelvin hätte ich
> ja dann gar nicht gerechnet.
>
Brauchst du auch nicht, denn alle Widerstände unterliegen derselben Temperaturänderung.
Wie ist denn die Antwort auf Frage 1)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 So 05.04.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
Was ist denn genau falsch?
Ich dachte, wenn ich in meiner mit 1) bezeichneten Gleichung (T - [mm] T_{0}) [/mm] ausklammere, dann steht ja noch da [mm] \alpha_{R1} R_{10} [/mm] + [mm] \alpha_{R2} R_{20}, [/mm] und dies entspräche ja dann doch meinem [mm] \alpha_{R3} [/mm] in Gleichung 2) .
Um auf Teilaufgabe 1) zu antworten:
Ich denke einen Temperaturkoeffizienten von 0.005 1/K kann ich ja nicht erreichen, da der erste sich mit 0.0038 1/K unter 0.005 1/K befindet und durch Subtraktion von 0.0002 1/K wäre ja der Wert 0.005 unerreichbar oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 So 05.04.2015 | | Autor: | GvC |
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> Was ist denn genau falsch?
> Ich dachte, wenn ich in meiner mit 1) bezeichneten
> Gleichung (T - [mm]T_{0})[/mm] ausklammere, dann steht ja noch da
> [mm]\alpha_{R1} R_{10}[/mm] + [mm]\alpha_{R2} R_{20},[/mm]
Ja, das ist die rechte Seite der Gleichung.
> ... und dies
> entspräche ja dann doch meinem [mm]\alpha_{R3}[/mm] in Gleichung 2)
> .
Und das müsste die linke Seite der Gleichung sein. Ist sie aber nicht. Schau nochmal genau nach.
Übrigens: Warum überzeugt Dich das Argument der unterschiedlichen Dimension auf der rechten und linken Seite Deiner Gleichung nicht? Links steht bei Dir eine Größe mit der Dimension [mm] Temperatur^{-1}, [/mm] rechts die Dimension [mm] \frac{Widerstand}{Temperatur}. [/mm] Das kann nicht gleich sein.
>
>
> Um auf Teilaufgabe 1) zu antworten:
> Ich denke einen Temperaturkoeffizienten von 0.005 1/K kann
> ich ja nicht erreichen, da der erste sich mit 0.0038 1/K
> unter 0.005 1/K befindet und durch Subtraktion von 0.0002
> 1/K wäre ja der Wert 0.005 unerreichbar oder?
So ist es.
Nach Bearbeitung der Teilaufgabe 2) könntest Du das auch formelmäßig nachweisen. Danach müsste nämlich ein Teilwiderstand größer als der Gesamtwiderstand sein. Das kann bei einer Reihenschaltung aber nicht sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 So 05.04.2015 | | Autor: | X3nion |
Editierter Mitteilungstext:
Hallo GvC,
ich habe nochmal drübergeschaut und komme nun auf eine etwas abgewandelte Form:
1) [mm] R_{ges} [/mm] (t) = [mm] R_{10} \* [/mm] (1 + [mm] \alpha_{R1} \* [/mm] (T - [mm] T_{0})) [/mm] + [mm] R_{20} \* [/mm] (1 + [mm] \alpha_{R2} \* [/mm] (T - [mm] T_{0}))
[/mm]
2) [mm] R_{ges} [/mm] = [mm] R_{30} \* [/mm] (1 + [mm] \alpha_{R3} \* (T-T_{0}) [/mm] = [mm] (R_{10} [/mm] + [mm] R_{20}) \* [/mm] (1 + [mm] \alpha_{R3} \* (T-T_{0})
[/mm]
Mit [mm] R_{30} [/mm] = [mm] R_{10} [/mm] + [mm] R_{20}
[/mm]
Somit ergibt sich beim Gleichsetzen:
[mm] R_{10} \* [/mm] (1 + [mm] \alpha_{R1} \* [/mm] (T - [mm] T_{0})) [/mm] + [mm] R_{20} \* [/mm] (1 + [mm] \alpha_{R2} \* [/mm] (T - [mm] T_{0})) [/mm] = [mm] (R_{10} [/mm] + [mm] R_{20}) \* [/mm] (1 + [mm] \alpha_{R3} \* (T-T_{0})
[/mm]
<=> [mm] R_{10} [/mm] + [mm] R_{20} [/mm] + [mm] R_{10} \alpha_{R1} [/mm] (T - [mm] T_{0}) [/mm] + [mm] R_{20} \alpha_{R2} [/mm] (T - [mm] T_{0}) [/mm] = [mm] R_{10} [/mm] + [mm] R_{20} [/mm] + [mm] R_{10} \alpha_{R3} [/mm] (T - [mm] T_{0}) [/mm] + [mm] R_{20} \alpha_{R3} [/mm] (T - [mm] T_{0})
[/mm]
<=> [mm] R_{10} \alpha_{R1} [/mm] (T - [mm] T_{0}) [/mm] + [mm] R_{20} \alpha_{R2} [/mm] (T - [mm] T_{0}) [/mm] = [mm] R_{10} \alpha_{R3} [/mm] (T - [mm] T_{0}) [/mm] + [mm] R_{20} \alpha_{R3} [/mm] (T - [mm] T_{0})
[/mm]
<=> (T - [mm] T_{0}) (R_{10} \alpha_{R1} [/mm] + [mm] R_{20} \alpha_{R2} [/mm] = (T - [mm] T_{0}) (R_{10} \alpha_{R3} [/mm] + [mm] R_{20} \alpha_{R3} [/mm] )
<=> [mm] R_{10} \alpha_{R1} [/mm] + [mm] R_{20} \alpha_{R2} [/mm] = [mm] R_{10} \alpha_{R3} [/mm] + [mm] R_{20} \alpha_{R3}
[/mm]
<=> [mm] \alpha_{R3} [/mm] = [mm] \bruch{R_{10}\alpha_{R1} + R_{20} \alpha_{R2}} {R_{10} + R_{20}}
[/mm]
Würde die Gleichung denn soweit stimmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Mo 06.04.2015 | | Autor: | GvC |
> ...
> <=> [mm]\alpha_{R3}[/mm] = [mm]\bruch{R_{10}\alpha_{R1} + R_{20} \alpha_{R2}} {R_{10} + R_{20}}[/mm]
>
> Würde die Gleichung denn soweit stimmen?
Ja. Dabei ist [mm] \alpha_{R3} [/mm] und [mm]R_{10}+R_{20}[/mm] vorgegeben. Dann kannst Du die Gleichung beispielsweise nach [mm] R_{10} [/mm] auflösen:
[mm]\alpha_{R3}=\frac{R_{10}\cdot\alpha_{R1}+R_{20}\cdot\alpha_{R_2}}{R_{30}}[/mm]
Mit [mm]R_{20}=R_{30}-R_{10}[/mm] wird daraus
[mm]R_{30}\cdot\alpha_{R3}=R_{10}\cdot (\alpha_{R1}-\alpha_{R2})=R_{30}\cdot (\alpha_{R3}-\alpha_{R2})[/mm]
[mm]R_{10}=R_{30}\cdot\frac{\alpha_{R3}-\alpha_{R2}}{\alpha_{R1}-\alpha_{R2}}[/mm]
und
[mm]R_{20}=R_{30}-R_{10}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mo 06.04.2015 | | Autor: | X3nion |
Alles klar, dann habe ich das jetzt soweit verstanden!
Was wäre denn jetzt nun, wenn der Temperaturkoeffizient jeweils mit 1 / C° angegeben ist, die Aufgabe ansonsten komplett identisch?
Also 3.8 * 10^_{-3} 1/ C° , 0.2 * 10^_{-3} 1 / C° bzw. der resultierende Temperaturkoeffizient 1 * [mm] 10^{-3} [/mm] 1 / C°.
Müsste ich dann den Temperaturkoeffizienten zuerst auf die Form 1 / K bringen, da dieser ja so definiert ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mo 06.04.2015 | | Autor: | GvC |
Der Temperaturkoeffizient ist der Koeffizient einer Temperaturdifferenz. Da die Skalierung in der Kelvin-Skala dieselbe ist wie in der Celsius-Skala und die beiden Skalen sich nur in der Nullpunktdefinition unterscheiden, ist die "Umrechnung" einfach: 1°C Temperaturunterschied ist dasselbe wie 1K Temperaturunterschied.
Allerdings sei an dieser Stelle darauf hingewieen, dass nach internationalen Gepflogenheiten eine Temperaturdifferenz im Allgemeinen immer in Kelvin angegeben wird und deshalb die Einheit des Temperaturkoeffizienten 1/K ist. Die deutsche Norm DIN 1345 empfiehlt ebenfalls den Gebrauch der Einheit Kelvin für Temperaturdifferenzen, lässt aber die Einheit °C ebenfalls zu, so dass die Einheit 1/°C für den Temperaturkoeffizienten zwar zulässig, aber unüblich ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mo 06.04.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo GvC,
Also wäre die Lösung genau die gleiche, auch bei veränderter Teilaufgabe 1), ob ein Temperaturkoeffizient von 5 * [mm] 10^{-3} [/mm] 1 / C° erreicht werden kann?
Bei unseren Übungaufgaben sind dies 2 verschiedene Aufgaben, einmal mit Grad und einmal mit Kelvin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:22 Di 07.04.2015 | | Autor: | GvC |
Offenbar habe ich mich nicht klar genug ausgedrückt. Deshalb hier nochmal in aller Deutlichkeit: Die Angabe des
Ttemperaturkoeffizienten in 1/°C oder 1/K macht keinen Unterschied; eine Umrechnung ist nicht erforderlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:01 Di 07.04.2015 | | Autor: | X3nion |
Das habe ich schon verstanden!
Ich wollte nur noch einmal mitteilen, dass dies zwei verschiedene Aufgaben sind und es für mich etwas seltsam wirkte, dass bei beiden exakt dasselbe herauskommt - aber in diesem Fall ist das halt so und es ist keine versteckte Idee dahinter.
Vielen vielen Dank nochmal für die Zeit, die du dir über Ostern genommen hast um mir zu helfen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Mi 08.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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