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| Aufgabe 1 | | beweisen sie: ist [mm] (a_n) [/mm] eine gegen a konvergente folge und [mm] (b_n) [/mm] definiert durch [mm] b_n:= a_{n+1}-a_n, [/mm] so ist die summe von n=1 bis [mm] \infty [/mm] von [mm] b_n [/mm] eine konvergente reihe (teleskopreihe). was ist der grenzwert der reihe? |
| Aufgabe 2 | berechnen sie den grenzwert der folgenden teleskopreihen:
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(1/(n+1)-1/n)
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(1/(n*(n+1)))
[/mm]
c) [mm] \summe_{i=2}^{\infty}(1/(n+1)-1/(n-1))
[/mm]
d) [mm] \summe_{i=2}^{\infty}(1/(n²-1))
[/mm]
e) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(n+3/(n*(n+1)(n+2)) [/mm] |
hallo,
kann mir jemand bei den aufgaben helfen, ich hab nämlich keine ahnung, wie ich das bei aufgabe 1 zeigen soll.
bei aufgabe 2 hab ich 2 lösungen, weiß allersings nicht, ob das richtig ist.
beid der 2a) konvergiert es bei mir gegen -1. aber ich denke das ist falsch. weiß auch nicht wirklich, wie ich das machen soll.
danke schon mal im vorraus.
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Hallo charly1607,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> beweisen sie: ist [mm](a_n)[/mm] eine gegen a konvergente folge und
> [mm](b_n)[/mm] definiert durch [mm]b_n:= a_{n+1}-a_n,[/mm] so ist die summe
> von n=1 bis [mm]\infty[/mm] von [mm]b_n[/mm] eine konvergente reihe
> (teleskopreihe). was ist der grenzwert der reihe?
> berechnen sie den grenzwert der folgenden teleskopreihen:
> a) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(1/(n+1)-1/n)[/mm]
> b) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(1/(n*(n+1)))[/mm]
> c) [mm]\summe_{i=2}^{\infty}(1/(n+1)-1/(n-1))[/mm]
> d) [mm]\summe_{i=2}^{\infty}(1/(n²-1))[/mm]
> e) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(n+3/(n*(n+1)(n+2))[/mm]
> hallo,
> kann mir jemand bei den aufgaben helfen, ich hab nämlich
> keine ahnung, wie ich das bei aufgabe 1 zeigen soll.
zu zeigen ist, daß [mm]
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\left| {b_{n + 1} \; - \;b_n } \right|\; = \;0[/mm]
Der Grenzwert ist bei einer Teleskopreihe einfach zu bestimmen.
> bei aufgabe 2 hab ich 2 lösungen, weiß allersings nicht,
> ob das richtig ist.
> beid der 2a) konvergiert es bei mir gegen -1. aber ich
> denke das ist falsch. weiß auch nicht wirklich, wie ich das
> machen soll.
Schreibe Dir am besten die Reihe mal auf. Dann fällt so einiges weg.
Der Grenzwert ist hier, wie Du schon vermutet hast, -1.
Zu b)
Zerlege hier die Reihe wie folgt:
[mm]
\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}
{{n\;\left( {n + 1} \right)}}} \; = \;\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{A}
{n}\; + \;\frac{B}
{{n + 1}}} [/mm]
Die Unbekannten A und B müssen natürlich noch bestimmt werden.
So machst Du das bei Teil d) und e) genauso. Zerlege also die Reihen in einfachere. (Stichwort: Partialbruchzerlegung)
Bei c) steht das ja schon da, wie man es braucht.
> danke schon mal im vorraus.
Gruß
MathePower
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