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Hallole,
ich hab folgende Reihe:
[mm] s_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (2i-1)(2i+1)
jetzt ist die erste Frage, kann ich daraus eine Teleskopreihe machen??
Und wenn ja, wie gehe ich da vor. Muss ich die Lösung Kraft Geistes erraten oder gibt es da ein Schema??
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo sambalmueslie!
Bei Teleskopreihen müssen einzelne Glieder wieder abgezogen werden. Dies ist hier nicht der Fall, so dass auch keine Teleskopreihe vorliegt.
Du kennst das vielleicht im Zusammenhang mit Brüchen, wo aus den Produkten im Nenner durch Partialbruchzerlegung mehrere einzelne Brüche entstehen und damit evtl. Teleskopreihen.
Wenn Du Dir hier die ersten Glieder der Reihe aufschreibst, wirst Du schnell sehen, dass wirklich keine Teleskopreihe vorliegt:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}(2i-1)*(2i+1) [/mm] \ = \ 1*3 + 3*5 + 5*7 + ... + (2n-1)*(2n+1)$
Es eliminiert sich hier also nichts.
Aber wir können anders vorgehen:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}(2i-1)*(2i+1) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{n}(4i^2-1) [/mm] \ = \ [mm] 4*\summe_{i=1}^{n}i^2 [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n}1 [/mm] \ = \ [mm] 4*\summe_{i=1}^{n}i^2 [/mm] - n$
Und für den Ausdruck [mm] $\summe_{i=1}^{n}i^2$ [/mm] können wir nun eine bekannte(?) Formel einsetzen (siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier) :
[mm] $\summe_{i=1}^{n}i^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
danke für die ausführliche Antwort.
Die Idee mit dem Binom hatte ich auch schon, nur hat mich die im Bezug auf Teleskopreihen nicht weitergebracht.
Muss zugeben, dass ich mich erst seit kurzem mit Folgen und Reihen beschäftige und darum sind meine Versuche
da eher etwas tapsig.
Mein Problem war das ich nicht so richtig verstanden hab was da in einem Beispiel passiert. Also hab ich mal Wikipedia
bemüht und was zum Thema gefunden.
Das vorliegende Beispiel war:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(2i-1)(2i+1)} [/mm] und dann war irgendwann der Sprung zu einer Teleskopreihe.
Was mich vor ein Rätsel gestellt hat.
Aber jetzt wo du Partialbruchzerlegung erwähnt hast wird mir da einiges klarer 
Und für mein Beispiel würde dann folgen:
[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] n*(n+1)(2n+1) - n ??
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Fein!
