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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 22.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen.
ich soll bei folgender konvergenter reihe die summe ermitteln. hab in der übung den tipp bekommen, es mit einer teleskopfolge zu machen. ich hab aber bei diesem beispiel keine ahnung, wie das funktionieren soll:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} n*a^{n-1} [/mm] für | a | < 1
ich hoffe, ihr könnt mir weiter helfen.
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Di 22.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzi
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} n*a^{n-1}[/mm] für | a
> | < 1
>
[mm]S_{m}= \summe_{n=1}^{ \infty} n*a^{n-1}[/mm]
bilde [mm] S_{m}-a*S_{m}=......
[/mm]
[mm] S_{m}dann [/mm] Ergebnis durch (1-a) teilen. (solltest du von der geom. Reihe kennen)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 22.11.2005 | | Autor: | Franzie |
okay, also ich habe jetzt aus
[mm] s_{n}= \summe_{n=1}^{\infty} n*a^{n-1} [/mm]
[mm] s_{n}-a*s_{n} [/mm] gebildet, d.h. [mm] n*a^{n-1} [/mm] - a* [mm] n*a^{n-1} [/mm]
[mm] =n*a^{n-1}*(1-a) [/mm] |:(1-a)
[mm] s_{n}= [/mm] 1/(1-a)
und das ist jetzt also die summe dieser reihe?
dankeschön für den anstoß
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Di 22.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
> okay, also ich habe jetzt aus
[mm]s_{n}= \summe_{n=1}^{m} n*a^{n-1}[/mm]
das ist falsch : Die Summe soll bis m gehen nicht bis unendlich. am Ende dann m gegen unendlich:
[mm]S_{m} =1+2a +3a^2+4a^3+.........ma^{m-1}[/mm]
[mm]aS_m= 1a+2a^2+3a^3+.........(m-1)a^{m-1}+ma^m[/mm]
jetzt solltest du abziehen können.
Dann brauchst du nur noch die Summe der geom. Reihe bis m-1 und dann ganz am Ende m geg. unendlich!
> [mm]s_{n}-a*s_{n}[/mm] gebildet, d.h. [mm]n*a^{n-1}[/mm] - a* [mm]n*a^{n-1}[/mm]
Wie kommst du da drauf. Im Zweifelsfall immer Summen noch mal ein Stückweit ausschreiben, offensichtlich übersieehst du die noch nicht gut!
Jetzt sollte es aber klappen!
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:04 Di 22.11.2005 | | Autor: | Franzie |
ah......................hab jetzt erst gerafft, was du mit deiner summe gemeint hast. mir ist jetzt endlich klar, wie du das gemeint hast mit [mm] s_{n}- s_{n}*a. [/mm] also das mit der differenz hab ich jetzt hingekriegt, ich frag mich leider immer noch, weshalb ich jetzt noch die summe der reihe bis m-1 (hab es aber trotzdem mal gemacht) bilden und dann m gegen unendlich gehen lassen soll.
sorry, aber ich steh momentan etwas auf dem schlauch.
liebe grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Mi 23.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
Da du nicht geschrieben hast, was du raus hast, weiss ich nicht, was deine Frage ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Sorry, hast recht. hab ich total vergessen.
also
[mm] \summe_{n=1}^{m}n*a^{n-1}
[/mm]
[mm] s_{m}= 1+2a+3a^{2}+...+ma^{m-1} [/mm] das ist mir jetzt klar wieso
[mm] a*s_{m}= 1a+2a^{2}+3a^{3}+...+(m-1)a^{m-1}*ma^{m} [/mm] ist mir auch einleuchtend
[mm] s_{m}-a*s_{m}=1+a+a^{2}+a^{3}+....+a^{m-1}+ma^{m} [/mm] ist die differenz okay?
und jetzt hast du gesagt summe bis m-1,d.h.
[mm] \summe_{n=1}^{m-1}n*a^{n-1}=1+2a+3a^{2}+...+(m-1)*a^{m-2}
[/mm]
aber wieso muss ich das machen und wo bzw. wieso muss jetzt n gegen unendlich gehen?
danke für die geduld
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mi 23.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
> [mm]\summe_{n=1}^{m}n*a^{n-1}[/mm]
> [mm]s_{m}= 1+2a+3a^{2}+...+ma^{m-1}[/mm] das ist mir jetzt klar
> wieso
> [mm]a*s_{m}= 1a+2a^{2}+3a^{3}+...+(m-1)a^{m-1}*ma^{m}[/mm] ist mir
> auch einleuchtend
> [mm]s_{m}-a*s_{m}=1+a+a^{2}+a^{3}+....+a^{m-1}+ma^{m}[/mm] ist die
> differenz okay?
>
> und jetzt hast du gesagt summe bis m-1,d.h.
> [mm]\summe_{n=1}^{m-1}n*a^{n-1}=1+2a+3a^{2}+...+(m-1)*a^{m-2}[/mm]
NEIN! du willst ausrechnen[mm]\summe_{n=1}^{\infty}n*a^{n-1}[/mm]
jetzt weisst du:
[mm]\summe_{n=1}^{m}n*a^{n-1}=S_m[/mm]
und [mm]S_m*(1-a)=\summe_{n=0}^{m-1}a^{n}+m*a^{m}[/mm]
wenn du durch 1-a dividierst hast du [mm] S_{m} [/mm] du willst aber [mm] S_{\infty}
[/mm]
also musst du noch m gegen unendlich gehen lassen.
Dabei hab ich angenommen, dass ihr die Summe [mm] \summe_{n=0}^{m-1}a^{n} [/mm] schon behandelt habt! es ist die sog. geometrische Reihe.
Irgendwie musst du selbst mal überlegen, was das Ziel der Aufgabe ist!
Gruss leduart
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Hallo Franzie,
> Hallöchen.
> ich soll bei folgender konvergenter reihe die summe
> ermitteln. hab in der übung den tipp bekommen, es mit einer
> teleskopfolge zu machen. ich hab aber bei diesem beispiel
> keine ahnung, wie das funktionieren soll:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} n*a^{n-1}[/mm] für | a
> | < 1
Schreibe diese Reihe etwas anders auf:
[mm]
\begin{gathered}
1\;a^0 \; + \;2\;a^1 \; + \;3\;a^2 \; + \;4\;a^3 \; + \; \cdots \hfill \\
= \;1\;\left( {a^0 \; + \;a^1 \; + \;a^2 \; + \;a^3 \; + \; \cdots } \right)\; + \;1\;\left( {a^1 \; + \;a^2 \; + \;a^3 \; + \; \cdots } \right)\; + \;1\;\left( {a^2 \; + \;a^3 \; + \; \cdots } \right)\; + \; \cdots \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Diesen Ausdruck kannst Du nun allgemein schreiben. Davon läßt sich dann leicht die Summe bilden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Di 22.11.2005 | | Autor: | Franzie |
also wenn ich das allgemein aufschreibe, hab ich ja
[mm] 1(a^{n}+a^{n+1}+a^{n+2}+....)+1(a^{n+1}+a^{n+2}+....)+1(a^{n+2}+a^{n+3}+...)
[/mm]
das wird doch jetzt eine geometrische reihe. ich steh immer noch auf dem schlauch bezüglich der summer der reihe, heute ist wahrscheinlich irgendwie der wurm drin.
liebe grüße
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Hallo Franzie,
> also wenn ich das allgemein aufschreibe, hab ich ja
>
> [mm]1(a^{n}+a^{n+1}+a^{n+2}+....)+1(a^{n+1}+a^{n+2}+....)+1(a^{n+2}+a^{n+3}+...)[/mm]
> das wird doch jetzt eine geometrische reihe. ich steh
> immer noch auf dem schlauch bezüglich der summer der reihe,
> heute ist wahrscheinlich irgendwie der wurm drin.
Allgemein sieht das so aus:
[mm]
\begin{gathered}
1\;a^0 \; + \;2\;a^1 \; + \;3\;a^2 \; + \;4\;a^3 \; + \; \cdots \hfill \\
= \;1\;\left( {a^0 \; + \;a^1 \; + \;a^2 \; + \;a^3 \; + \; \cdots } \right)\; + \;1\;\left( {a^1 \; + \;a^2 \; + \;a^3 \; + \; \cdots } \right)\; + \;1\;\left( {a^2 \; + \;a^3 \; + \; \cdots } \right)\; + \; \cdots \hfill \\
= \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {a^k } \; + \;\sum\limits_{k = 1}^\infty {a^k } \; + \sum\limits_{k = 2}^\infty {a^k } \; + \;\sum\limits_{k = 3}^\infty {a^k } \; + \; \cdots \hfill \\
= \;\sum\limits_{l = 0}^\infty {a^l \;\sum\limits_{m = 0}^\infty {a^m } } \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das Ergebnis ist also das Produkt von zwei geometrischen Reihen.
Gruß
MathePower
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