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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 So 10.02.2008 | | Autor: | LadyVal |
| Aufgabe | | In einem Rechteck ABCD wird [mm] \overline{AB} [/mm] durch E im Verhältnis 4:1, [mm] \overline{BC} [/mm] durch F im Verhältnis 1:1 geteilt. Wie teilen sich [mm] \overline{AF} [/mm] und [mm] \overline{DE}? [/mm] |
Ich hab mir dann eine Skizze gemacht, den Schnittpunkt der Strecken S genannt, [mm] \overline{AB} [/mm] als Vektor [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \overline{BC} [/mm] als Vektor [mm] \vec{b} [/mm] bezeichnet und dann einen Vektorzug aufgestellt:
[mm] \overrightarrow{AE} [/mm] + [mm] \overrightarrow{ES} [/mm] + [mm] \overrightarrow{SA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}.
[/mm]
Dann hab ich als weiteren Zug [mm] \overrightarrow{AE} [/mm] + [mm] \overrightarrow{ED} [/mm] + [mm] \overrightarrow{DA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0} [/mm] aufgestellt und daraus gefolgert, dass
[mm] \overrightarrow{ED} [/mm] = [mm] \vec{b}-\bruch{4}{5} \vec{a} [/mm] ist und
[mm] \overrightarrow{ES} [/mm] = [mm] s*\overrightarrow{ED}, [/mm] also [mm] s*(\vec{b}-\bruch{4}{5} \vec{a}).
[/mm]
Außerdem ist [mm] \overrightarrow{AF} [/mm] + [mm] \overrightarrow{FB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}, [/mm] damit ist [mm] \overrightarrow{AF} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{a}.
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AS} [/mm] ist gleich t * [mm] \overrightarrow{AF}, [/mm] daraus folgt dann, dass [mm] \overrightarrow{SA} [/mm] = - [mm] t*\overrightarrow{AF} [/mm] ist.
Der endültige Vektorzug [mm] \overrightarrow{AE} [/mm] + [mm] \overrightarrow{ES} [/mm] + [mm] \overrightarrow{SA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}
[/mm]
heißt dann ja also
[mm] \bruch{4}{5} \vec{a} [/mm] + [mm] s*(\vec{b}-\bruch{4}{5} \vec{a})-t*(\bruch{1}{2} \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{a}).
[/mm]
Wenn ich damit aber weitterrechne, komm ich auf s = [mm] \bruch{2}{7} [/mm] und t = [mm] \bruch{4}{7}, [/mm] das kann ja aber nicht stimmen, weil s + t ja 1 ergeben muss...
Wo liegt da denn jetzt mein (Denk-)Fehler? Im Ansatz schon? ;(
Herzlichen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 So 10.02.2008 | | Autor: | weduwe |
dein fehler ist die annahme, dass gilt [mm]s + t = 1[/mm].
wieso sollte denn das sein?
der rest ist richtig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 10.02.2008 | | Autor: | LadyVal |
hallo! danke fuer Deine schnelle antwort.
ich dachte, s + t muss eins ergeben, weil:
wenn ich das verhaeltnis 4:1 fuer eine strecke gegeben habe, kann man die strecke ja in 5 teile einteilen, wobei eben der eine teil 4 einheiten umfasst, der andere eine. also [mm] \bruch{4}{5} [/mm] und [mm] \bruch{1}{5}. [/mm] und [mm] \bruch{4}{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] gibt 1.
so auch wenn ich das verhaeltnis 1:1 habe; eine strecke hat zwei teile, also jede die haelfte und 2 mal die haelfte ist eins.
und wenn ich nun [mm] \bruch{4}{7} [/mm] + [mm] \bruch{2}{7} [/mm] rechne, erhalte ich ja nicht 1.
was ist denn das ueberhaupt fuer ein komisches verhaeltnis? ich kann ja nicht 4:2 sagen.
verstehst was ich mein?
*bluemchen.schenk*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 10.02.2008 | | Autor: | abakus |
Also elementargeometrisch ist [mm] \overline{DS}=\bruch{5}{7} \overline{DE} [/mm] und [mm] \overline{ES}=\bruch{2}{7} \overline{DE}.
[/mm]
Kontrolliere mal damit deine Rechnung.
Mt meinem vorhin eingeführten Punkt P gilt auch [mm] \overline{AS}=\bruch{2}{7} \overline{AP}. [/mm] Von der nur halb so langen Strecke [mm] \overline{AF} [/mm] ist der Anteil von [mm] \overline{AS} [/mm] daran natürlich doppelt so groß, nämlich [mm] \bruch{4}{7}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 So 10.02.2008 | | Autor: | LadyVal |
feini. inzwischen hab ich auch kapiert, warum die annahme s+t=1 falsch ist. man sollte sich manchmal seine skizzen genauer anschauen. danke Euch beiden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 So 10.02.2008 | | Autor: | abakus |
Die Antwort fällt elementargeometrisch viel einfacher als mit der umständlichen Vektorverwendung.
Die Verlängerung von AF über F hinaus schneidet die Verlängerung von DC über C hinaus in einem Punkt P.
Mit dem Strahlensatz bekommst du sofort [mm] \overline{AB}=\overline{CP} [/mm] und damit [mm] \overline{DP}=2*\overline{AB}.
[/mm]
Für [mm] \overline{AE} [/mm] gilt [mm] \overline{AE}=\bruch{4}{5}\overline{AB}
[/mm]
Aus dem Verhältnis von [mm] \overline{AE} [/mm] und [mm] \overline{DP} [/mm] bekommst du das Teilverhältnis der Strecke [mm] \overline{DE}.
[/mm]
Das andere Teilverhältnis schaffst du dann auch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 So 10.02.2008 | | Autor: | LadyVal |
danke. in der tat fuehren viele wege nach rom, aber diese aufgabe soll mit vektorzuegen gerechnet werden. (nehme ich an, da es im schulbuch unter vektoren zu finden ist):'( dennoch danke.
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