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Ich soll in einer Aufgabe zeigen, dass das Teilverhältnis unter einen injektiven affinen Abbildung f: A-->A erhalten bleibt. Dabei ist gesagt, dass p, q, r auf einer Geraden liegende Punkkte sind eines affinen Raumes A, wobei gilt q ungleich p.
DAs Teilverhältnis der Punkte p, q, r lauet [mm] \overrightarrow{pq} [/mm] = [mm] \alpha \overrightarrow{pr} \alpha \in [/mm] K. Ich weiß nicht so richtig, wie ich das machen soll, könnt ihr mir vielleicht ein paar Tips oder einen Beweisansatz geben? Danke!!!
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Ich bins nochmal. Ich weiß, dass das total unpassend ist, ist auch nicht meine Art zu drängeln, aber ic weiß absolut nicht, was ich bei dieser Aufgabe machen soll und muss sie aber allerdings morgen abgeben. Könnt ihr mir nicht vielleicht ein wenig helfen. Wenigsten einen Ansatz? Ich weiß, nicht drängeln!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Mo 16.05.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Sternchen
Ich würde mit den Definitionen arbeiten, dann ist die Aufgabe "straigth forward".
Wenn f eine affine Abbildung ist, dann gibt es eine Matrix A und einen Punkt (Vektor) [mm] $x_0$ [/mm] so, dass
[mm] $f(x)=x_0+Ax$ [/mm] (wobei [mm] $x\in K^n$).
[/mm]
Der Vektor [mm] $\overrightarrow{pq}$ [/mm] ist die Differenz der Ortsvektoren [mm] $\overrightarrow{pq}=q-p$.
[/mm]
Und jetzt einfach einsetzen:
[mm] $\overrightarrow{f(p)f(q)}=f(q)-f(p)=x_0+Aq-(x_0+Ap)=Aq-Ap=A(q-p)=A\overrightarrow{pq}$
[/mm]
Daher ist [mm] $\overrightarrow{f(p)f(q)}$ [/mm] nichts anderes, als das Bild von [mm] $\overrightarrow{pq}$ [/mm] unter einer (injektiven) linearen Abbildung. Dann folgt die Behauptung leicht.
mfG Moudi
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Heißt das, wenn ich das so hinschreibe habe ich schon die Behauptung bestätigt? Wo bringst du denn direkt die injektivität ein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mo 16.05.2005 | | Autor: | moudi |
Wenn [mm] $q\neq [/mm] p$, dann ist [mm] $\overrightarrow{pq}$ [/mm] nicht der Nullvektor, dann ist wegen Injektivität [mm] $\overrightarrow{f(p)f(q)}$ [/mm] nicht der Nullvektor.
Wenn [mm] $\overrightarrow{pr}=\alpha\overrightarrow{pq}$, [/mm] dann gilt das wegen der Linearität auch für die Bildpunkte.
Wäre [mm] $\overrightarrow{f(p)f(q)}=\vec [/mm] 0$, dann wäre natürlich auch [mm] $\overrightarrow{f(p)f(r)}=\vec [/mm] 0$ und die drei Bildpunkte wären identisch. Man könnte dann nicht mehr von Teilverhältnissen sprechen, deshalb ist die Injetivität notwendig.
mfG Moudi
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