Teilraum vom vektorraum < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 So 02.12.2007 | | Autor: | IHomerI |
| Aufgabe | Entscheiden Sie bei den folgenden beiden Mengen, ob es sich um einen Teilraum des Vektorraumes [mm] \IR^{2,2} [/mm] handelt:
a) [mm] T_{1}:=\{\vmat{ a & b \\ c & d } \in\IR^{2,2} |a-b-c-d=0\} [/mm] , [mm] T_{2}:=\{\vmat{ a & b \\ c & d } \in\IR^{2,2} |a+b+c+d=0\}
[/mm]
b) Gegeben sei der Teilraum T:= [mm] spann\{x², x²-x,x \}von\IR_{\le2[x]} [/mm] Bestimmen Sie die Dimension von T.
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Also ich hab in Lina echt Probleme mit genau solchen aufgaben. Ich schaffe eigentlich in Lina sonst alles. Aber hier Frag ich mich was ich machen muss.
zu a)
Also ich denk mal man muss zeigen
1) die Menge T1 bzw T2 ist nicht leer.
2) abgeschlossen gegenüber der Addition.
Doch wie mach ich das?
könnte ich jetzt nicht meine matrix abcd einfach + die matrix a-b-c-d nehmen und gucken was darauskommt? Ich hab echt keine Ahnung wie ich das Problem angehen soll. ich hab auch schon überall nachgeguckt, aber ich versteh es einfach nicht.
Könntet ihr mir evtl nur sagen, wie man a und b angeht also nen Ansatz?
Wär echt super. Vielen Dank lg euer homer.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du nimmst einfach 2 Matrizen, die dder Bed. genügen also mit [mm] a_1...D_1 [/mm] und [mm] a_2...d_2, [/mm] bildest r*T1+T2 und siehst, ob die wieder der Bed, genügt. wenn ja ists ein VR, wenn nein nicht.
bei 2 musstdu einfach sehen. wieviel lin unabh. Polynome das sind.
Dass zweites+drittes =erstes gibt ieht man direkt. also Vemutung 2 lin unabh.
1 und 3 oder 2 und 3.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 02.12.2007 | | Autor: | IHomerI |
[mm] r\*(\vmat{ a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} }+\vmat{ a_{2} & -b_{2} \\ -c_{2} & -d_{2} })
[/mm]
[mm] \Rightarrow r\*(\vmat{ a_{1}a_{2} & b_{1}-b_{2} \\ c_{1}-c_{2} & d_{1}-d_{2} })
[/mm]
dann rechne ich da einfach das r dazu und dann ists ok?
Reicht das?und bei dem anderen mach ich das genauso, blos mit plus? oder wie meintest du das?
Und zu der anderen Aufgabe, das mit den zwei unabhänigen vektoren hab ich auch gesehen, das ist ja dann auch schon die Dimension, aber wie stell ich sowas rechnerisch dar?
Wär echt super wenn du mir das nochmal zeigen könntest. Muss dass einfach verstehen.
Dankee
lg Homer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 02.12.2007 | | Autor: | IHomerI |
Ach mir gerade, glaub ich zumindestens, ne lösung zu zweitens eingefallen. ich könnte doch aus dem Spann ne Matrix machen und dann einfach gucken wieviel unabhängige zeilen ich bekomme. Das wär doch ein mathematischer "Beweis" sozusagen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du das hinkriegst, ja, aber wie soll deine Matrix aussehen?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]r\*(\vmat{ a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} }+\vmat{ a_{2} & -b_{2} \\ -c_{2} & -d_{2} })[/mm]
versteh ich nicht, warum die - in der 2. Matrix?
die sieht doch genauso aus wie die erste und bekannt ist a-b-c-d=0 für beide. das muss bei der Summe wieder der Fall sein, das muss man einfach nachrechnen!
> [mm]\Rightarrow r\*(\vmat{ a_{1}a_{2} & b_{1}-b_{2} \\ c_{1}-c_{2} & d_{1}-d_{2} })[/mm]
also r*a1+a2-(rb1+b2 )-.....=0 stimmt das? dann sind diese matrizen ein UVR.
> dann rechne ich da einfach das r dazu und dann ists ok?
was du damit meinst versteh ich nicht!
> Reicht das?und bei dem anderen mach ich das genauso, blos
> mit plus? oder wie meintest du das?
> Und zu der anderen Aufgabe, das mit den zwei unabhänigen
> vektoren hab ich auch gesehen, das ist ja dann auch schon
> die Dimension, aber wie stell ich sowas rechnerisch dar?
also [mm] f1=x^2, f2=x^2-x [/mm] f3=x soweit ich mich erinnere.
a)f2+f3-f1=0 d.h. nicht alle drei sind lin. unabhängig. Dimensoin also höchstens 2
Beh: f1 und f3 sind lin unabh.
Beweis: [mm] ax^2+bx=0 [/mm] kann man nicht für alle x erfüllen. Man kann die Koeffizienten eindeutig so bestimmen, dass a*f1(1)+b(f2(1)=0 und a*f1(2)+b(f2(2)=0 gilt, dadurch wären a.b eindeutig festgelegt, falls es sie gibt, aber dann ist die Summe für andere x nicht 0, also gibt es für alle x gültige a.b nur mit a=b=0
d.h. [mm] x,x^2 [/mm] lin unabh. und damit Basiseines Unterraums.
Gruss leduart
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