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Teilraum: Limearität
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Sa 19.11.2011
Autor: sissile

Aufgabe
Sei [mm] \delta: \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^m [/mm] eine lineare abbildung, für alle x ,x* [mm] \in \IR^n [/mm] und alle [mm] \lambda \in \IR. [/mm] Zeige dass die Menge
L:= { x [mm] \in \IR^n [/mm] | [mm] \delta [/mm] (x) =0}
ein Teilraumbildet.
Zeige weiters dass auch
W:=img [mm] (\delta)= [/mm] {y [mm] \in \IR^m [/mm] | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] : [mm] \delta [/mm] (x) = y}
ein Teilraum ist.


[mm] \delta [/mm] (x) =0
[mm] \delta [/mm] (x*) = 0
[mm] \delta(x+ [/mm] x*) = wegen linearität [mm] \delta [/mm] (x) + [mm] \delta [/mm] (x*) = 0+0=0

[mm] \deltta [/mm] (x [mm] \cdot \lambda) [/mm] =0
[mm] \lambda \cdot \delta(x) [/mm] =0

Ist der erste Teilraum gezeigt?
Wie geh ich beim anderen vor? Könnte ihr mir da helfen

        
Bezug
Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Sa 19.11.2011
Autor: Schadowmaster

moin sissile,

Beim ersten Teilraum solltest du dringend noch ein wenig auf Formalitäten achten.
Da ich diese Aufgabe selbst schonmal gemacht habe und schon einige Unterräume gesehen hab ist mir klar was du meinst, aber wenn du das so abgibst dann werden da sicher gnadenlos Punkte abgezogen.^^

Für das Bild deiner Funktion gehst du genauso vor.
Wird die 0 getroffen?

Wenn du a und b im Bild hast dann schnapp dir am besten x und y mit [mm] $\delta(x) [/mm] = a$, [mm] $\delta(y) [/mm] = b$, begründe noch kurz wieso diese x,y existieren und zeige dann, dass auch $a+b$ getroffen wird.
[mm] $\lambda*a$ [/mm] entsprechend


lg

Schadow

Bezug
                
Bezug
Teilraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Sa 19.11.2011
Autor: sissile

Du meinst Formalitäten wie Linearität und eigenschaften des Teilraums allgemein aufschreiben?erledigt

Kannst du mir dass nochmals erklären beim zweiten tailraum?
y=0  bei jeden x
y*=0

für alle y, y* [mm] \in [/mm] W
y+ y* [mm] \in [/mm] W
[mm] \lambda [/mm] y [mm] \in [/mm] W


Bezug
                        
Bezug
Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Sa 19.11.2011
Autor: Schadowmaster


> Du meinst Formalitäten wie Linearität und eigenschaften
> des Teilraums allgemein aufschreiben?erledigt
>  
> Kannst du mir dass nochmals erklären beim zweiten
> tailraum?
>  y=0  bei jeden x
>  y*=0

öh, was?

> für alle y, y* [mm]\in[/mm] W
>  y+ y* [mm]\in[/mm] W
>  [mm]\lambda[/mm] y [mm]\in[/mm] W

jupp, die beiden sind zu zeigen.
Dann musst du noch zeigen, dass $0 [mm] \in [/mm] W$.
Sind y und y* in W enthalten so gibt es (guck dir dafür die Definition von W an) x und x*  mit [mm] $\delta(x) [/mm] = y$, [mm] $\delta($x*) [/mm] = y*.
Findest du nun ein z mit [mm] $\delta(z) [/mm] =$ y + y*, dann wäre auch y+y* im Bild enthalten.
Da [mm] $\delta$ [/mm] linear ist lässt sich so ein z mit ein wenig Nachdenken finden.
Wenn du das erstmal hast dann geht die dritte Bedingung ganz genau so.

lg

Schadow

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Teilraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Sa 19.11.2011
Autor: sissile

Die beiden Bedingungen sind zu zeigen
(ich poste sie mal, da ich mir nicht sicher bin)

y [mm] \in [/mm] W
y* [mm] \in [/mm] W
y + y* = [mm] \delta(x) [/mm] + [mm] \delta(x [/mm] *) = [mm] \delta(x+ [/mm] x *)
gehts da noch weiter?

[mm] \lambda [/mm] * y = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \delta [/mm] (x)  = [mm] \delta (\lambda [/mm] x)
gehts da auch noch weiter?

Bezug
                                        
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Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Sa 19.11.2011
Autor: Schadowmaster


> Die beiden Bedingungen sind zu zeigen
>  (ich poste sie mal, da ich mir nicht sicher bin)
>  
> y [mm]\in[/mm] W
>  y* [mm]\in[/mm] W
>  y + y* = [mm]\delta(x)[/mm] + [mm]\delta(x[/mm] *) = [mm]\delta(x+[/mm] x *)
>  gehts da noch weiter?
>  
> [mm]\lambda[/mm] * y = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\delta[/mm] (x)  = [mm]\delta (\lambda[/mm] x)
>  gehts da auch noch weiter?

Ne, das ist soweit gut.
Du folgerst dann nur noch jeweils, dass sowohl y+y* als auch [mm] $\lambda*y$ [/mm] in W enthalten sind.

Und du darfst nicht vergessen zu zeigen, dass die 0 in W drinn liegt (oder das W nicht leer ist, jenachdem wie ihr das gelernt habt).

Ansonsten sieht das soweit ganz gut aus, nur ein paar erklärende Sätze (in Textform^^) würden dem Gesamtbild sicher gut tun. ;)

lg

Schadow


Bezug
                                                
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Teilraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Sa 19.11.2011
Autor: sissile


> Die beiden Bedingungen sind zu zeigen
>  (ich poste sie mal, da ich mir nicht sicher bin)
>  
> y $ [mm] \in [/mm] $ W
>  y* $ [mm] \in [/mm] $ W
>  y + y* = $ [mm] \delta(x) [/mm] $ + $ [mm] \delta(x [/mm] $ *) = $ [mm] \delta(x+ [/mm] $ x *)

-> $ [mm] \delta(x+ [/mm] $ x *) [mm] \in [/mm] W ->y + y* [mm] \in [/mm] W

> $ [mm] \lambda [/mm] $ * y = $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] \delta [/mm] $ (x)  = $ [mm] \delta (\lambda [/mm] $ x)

->  [mm] \delta (\lambda [/mm]  x) [mm] \in [/mm] W -> [mm] \lambda [/mm]  * y [mm] \in [/mm] W

> Und du darfst nicht vergessen zu zeigen, dass die 0 in W drinn liegt (oder das W nicht leer ist, jenachdem wie ihr das gelernt habt).

W:=img  [mm] (\delta)= [/mm] {y [mm] $\in \IR^m [/mm]  |  [mm] \exists [/mm]  x  [mm] \in \IR^n [/mm]  : [mm] \delta [/mm]  (x) = y}
wenn x=0
[mm] \delta(x) [/mm] = [mm] \delta(0) [/mm] =0

> Textform

Ich muss das eh nicht abgeben, es wir mich nur wenn mündlich geprüft.


Bezug
                                                        
Bezug
Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:47 So 20.11.2011
Autor: angela.h.b.


> > Und du darfst nicht vergessen zu zeigen, dass die 0 in W
> drinn liegt (oder das W nicht leer ist, jenachdem wie ihr
> das gelernt habt).
>  W:=img  [mm](\delta)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{y [mm]$\in \IR^m[/mm]  |  [mm]\exists[/mm]  x  [mm]\in \IR^n[/mm]  

> : [mm]\delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

  (x) = y}

> wenn x=0
>  [mm]\delta(x)[/mm] = [mm]\delta(0)[/mm] =0

Hallo,

ja, genau.

>  
> > Textform
>  Ich muss das eh nicht abgeben, es wir mich nur wenn
> mündlich geprüft.

Auch in diesem Fall rate ich sehr dazu, im Vorfeld zu üben, solche kleinen Aufgaben in einem netten Text mit korrekten Begründungen darzustellen.

Gruß v. Angela

>  


Bezug
                                                                
Bezug
Teilraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 So 20.11.2011
Autor: sissile


> wenn x=0
>  $ [mm] \delta(x) [/mm] $ = $ [mm] \delta(0) [/mm] $ =0

wie würde man denn das begründen in Textform
Wenn es ein x=0 gibt wird das abgebildet auf 0?
LG ;)

Bezug
                                                                        
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Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:42 So 20.11.2011
Autor: angela.h.b.


> > wenn x=0
>  >  [mm]\delta(x)[/mm] = [mm]\delta(0)[/mm] =0
>  
> wie würde man denn das begründen in Textform
>  LG ;)

Hallo,

siehst Du, genau das meinte ich! Man will die Begründung - wenn auch mündlich - in der Prüfung von Dir hören, und man tut gut daran, sich solche Dinge am heimischen Schreibtisch genauestens zu überlegen. Schließlich mag man nicht überrascht werden.

Die Begründung ist so: weil [mm] \delta [/mm] aus dem [mm] \IR^n [/mm] heraus abbildet, ist die [mm] 0_{\IR^n} [/mm] (=Nullvektor) im Definitionsbereich von [mm] \delta. [/mm]
Und weil [mm] \delta [/mm] eine lineare Abbildung ist, wird die Null des Definitionsbereiches auf die Null des Wertebereiches abgebildet.
Auch hier könnte man fragen: warum denn eigentlich? Du solltest eine Antwort parat haben... Sie findet sich in der Definition der linearen Abbildung.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                                
Bezug
Teilraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:48 So 20.11.2011
Autor: sissile

oh gut, danke

> warum denn eigentlich?

was warum? Auf was beziehst du dich jetzt in der Frage?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 So 20.11.2011
Autor: angela.h.b.


> oh gut, danke
>  
> > warum denn eigentlich?
>  was warum? Auf was beziehst du dich jetzt in der Frage?

Darauf, warum die Null bei linearen Abbildungen auf die Null abgebildet wird.

Gruß v. Angela




Bezug
                                                                                                
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Teilraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 So 20.11.2011
Autor: sissile

f(0) = f(0*0) = 0*f(0) = 0

Jetzt fehlen mir noch die worte!
wegen der zweiten eigenschaft der linearen abbildungen:
f [mm] (\lambda [/mm] * x) = [mm] \lambda [/mm] * f(x)
Ich kann den skalar rausziehen.

ich hoffe ich liege nicht ganz falsch

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 So 20.11.2011
Autor: fred97


> f(0) = f(0*0) = 0*f(0) = 0
>  
> Jetzt fehlen mir noch die worte!
>  wegen der zweiten eigenschaft der linearen abbildungen:
>  f [mm](\lambda[/mm] * x) = [mm]\lambda[/mm] * f(x)
>  Ich kann den skalar rausziehen.
>  
> ich hoffe ich liege nicht ganz falsch


Du liegst richtig

FRED

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