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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | 1) Ist die Menge D der antisymmetrischen reellen 2 × 2-Matrizen ein Teilraum des
Vektorraums [mm] R^{2,2}. [/mm] Gib die Basis an un bestimme die Dimension dieses Teilraumes.
2) Ist die Menge M := {A [mm] \in C^{3,3} [/mm] |AA* = [mm] I^3} [/mm] ein Teilraum des Vektorraums [mm] C^{3,3}
[/mm]
(wobei A* die adjungierte Matrix von A bezeichnet). Falls ja, dann gib eine Basis
(mit Begründung) an und bestimme die Dimension dieses Teilraums. |
Hallo hallo!
Sitze einmal mehr bei einer Aufgabe fest und hoffe auf Hilfe.
Was ich bieher habe zu 1)
Ist Teilraum, denn:
nicht leer, z.B. [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ -2 & 0 } [/mm] enthalten
abgeschl- bzl Addition:
Seien [mm] A,B\in [/mm] D, d.h. b=-c und f=-g.
[mm] A+B=\pmat{ 0 +0& -c-g\\ c+g & 0 +0}= \pmat{ 0 & -c-g \\ c+g & 0 } \Rightarrow [/mm] Summe beider Matrizen [mm] \in [/mm] Menge der antisymmetrischen reellen 2 × 2-Matrizen.
abgeschl- bzl Multiplikation:
Sei A [mm] \in [/mm] Menge der antisymmetrischen reellen 2 × 2-Matrizen, [mm] \alpha \in [/mm] R.
[mm] \alpha*A=\pmat{\alpha*0 & \alpha*-c \\ \alpha*c & \alpha*0 }= \pmat{0 & \alpha*-c \\ \alpha*c & 0 }\Rightarrow [/mm] Multiplikation erfüllt Bedingung, [mm] \alpha*A \in [/mm] Menge der antisymmetrischen reellen 2 × 2-Matrizen
Kann man da mehr sagen? Die Argumentation kommt mir ein wenig fadenscheinig vor.
Basis [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1& 0 }.
[/mm]
Nachweis Erzeugendensystem:
[mm] \alpha*\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }=\pmat{ 0 & b \\ -b & 0 } [/mm] Komponentenvergleich führt zu [mm] \alpha=-b, [/mm] eindeutige Lösung
jede Matrix in D besitzt die Form [mm] \pmat{ 0 & b \\ -b & 0 }/\pmat{ 0 & -b \\ b & 0 }, [/mm] die als Linearkombination der Matrix [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] dargestellt werden können.
Nullmatrix nur durch die triviale Lösung [mm] \alpha=0 [/mm] darstellbar, also linear unabhängig [mm] \Rightarrow [/mm] Dimension 1.
Bin mit dem Ergebnis aber nicht wirklich zufrieden....
zu 2) Hab leider keinen Ansatz. Es geht wohl um die Menge der regulären Matrizen in [mm] C^{3,3}, [/mm] da A*=A^-1 . Wie zeig ich da das Erfüllen der Teilraumkriterien bzw. das Aufstellen einer Basis?
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Lentio |
Hab es jetzt zu 2) so versucht:
kein Teilraum, da nicht abgeschlossen bzgl. Addition:
Seien [mm] A_1, A_2 \in [/mm] M mit der Eigenschaft A*B=I, wobei [mm] B=\overline{A^T}=A^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (A_1+A_2)B=I [/mm]
[mm] \gdw A_1*B+A_2*B=I \gdw [/mm] I +I = I [mm] \Leftarrow [/mm] Aussage unwahr
Ich finde aber kein konkretes Beispiel. Das lässt mich dann doch an der Richtigkeit meines BEweises zweifeln.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist die Nullmatrix in M ????
FRED
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> Bin mit dem Ergebnis aber nicht wirklich zufrieden....
>
Hallo,
ich bin zufrieden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Di 07.12.2010 | | Autor: | Lentio |
Danke für das Feedback !
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