Teilraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Geben Sie die Gleichung der Ebene durch den Punkt = (1,4,3) an, die durch die Vektoren a = (1,-1,0) und b = (1,4,0) aufgespannt wird. Liegt insbesondere der Punkt Q = (2,6,1) in der Ebene? Stellt diese Ebene einen Teilraum dar? |
Hallo,
ich habe die Lösung für diese Aufgabe, verstehe Sie aber nicht. Genauer das, wo es um die Beantwortung der letzten Frage geht:
"Die Ebene bildet keinen Teilraum, da sie nicht durch den Ursprung geht."
Warum muss denn die Ebene durch den Ursprung gehen? Das Kriterium für einen Teilraum ist doch Abgeschlossenheit bzgl. Addition und Multiplikation, also
a, b [mm] \in \IR, [/mm] x, y [mm] \in [/mm] U => ax + by [mm] \in [/mm] U
Was hat das Ganze jetzt mit der Ebene und dem Punkt zu tun? Warum sollte der Nullvektor nicht Teil der linearen Hülle von x und y sein? Was hat der Nullvektor denn mit dem Koordinatenursprung zu tun?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:42 Sa 10.03.2018 | | Autor: | fred97 |
1. ein Teilraum eines Vektorraumes enthält den Nullvektor
2. eine Teilmenge E des [mm] \IR^n [/mm] geht durch den Ursprung [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \in [/mm] E
|
|
|
| |
|
> 2. eine Teilmenge E des [mm]\IR^n[/mm] geht durch den Ursprung [mm]\gdw[/mm]
> 0 [mm]\in[/mm] E
Eben das ist mein Verständnisproblem. Nach meinem Verständnis ist ein Vektorraum doch einfach eine Menge von Vectoren, für die gilt, das jede Linearkombination selbiger auch wieder Teil der Menge ist. Wo kommt da der Ursprung ins Spiel? Einen Vektor kann ich doch zu jedem beliebigen Punkt im Koordinatensystem aufaddieren. Was hat der Punkt mit der Menge an Vektoren zu tun? Versteht mich einer?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Sa 10.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> > 2. eine Teilmenge E des [mm]\IR^n[/mm] geht durch den Ursprung [mm]\gdw[/mm]
> > 0 [mm]\in[/mm] E
>
> Eben das ist mein Verständnisproblem. Nach meinem
> Verständnis ist ein Vektorraum doch einfach eine Menge von
> Vectoren, für die gilt, das jede Linearkombination
> selbiger auch wieder Teil der Menge ist.
der Nullvektor ist auch eine Linearkombination
Wo kommt da der
> Ursprung ins Spiel? Einen Vektor kann ich doch zu jedem
> beliebigen Punkt im Koordinatensystem aufaddieren. Was hat
> der Punkt mit der Menge an Vektoren zu tun? Versteht mich
> einer?
ja und nein.
Schau dir nochmal die definitionen von Vektorraum und Untervektorraum an.
Eine Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] ist zunächst nur eine Teilmenge des [mm] \IR^3. [/mm] Sie ist genau dann ein Untervektorraum, wenn sie den Nullvektor enthält. Bildlich bedeutet dies, dass die Ebene durch den Koordinatenursprung geht
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Eben das ist mein Verständnisproblem. Nach meinem
> Verständnis ist ein Vektorraum doch einfach eine Menge von
> Vectoren, für die gilt, das jede Linearkombination
> selbiger auch wieder Teil der Menge ist. Wo kommt da der
> Ursprung ins Spiel? Einen Vektor kann ich doch zu jedem
> beliebigen Punkt im Koordinatensystem aufaddieren. Was hat
> der Punkt mit der Menge an Vektoren zu tun? Versteht mich
> einer?
deine Verwirrung ist verständlich und kommt davon, dass in der Schulmathematik oft einfach "![[]](/images/popup.gif) Vektorraum" gesagt wird, wenn eigentlich "affiner Raum" gemeint ist. Manche sagen auch "affiner Punktvektorraum".
Wenn ich dich richtig verstehe, stellst du dir einfach alle Vektoren vor, die man an die Punkte der Ebene "anlegen" kann, die dann selbst wieder in der Ebene liegen… dieses "an Punkte anlegen" existiert aber im Standardvektorraum [mm] $\IR^n$ [/mm] gar nicht.
Der Unterschied ist: Im affinen Raum, nennen wir ihn A, benötigt man Punkt und Vektor, wenn man etwas angeben möchte. D.h. A ist ein Tupel aus einer Menge von PUNKTEN und einer Menge von VEKTOREN. Also das, was du dir vorstellst. Und für affine Unterräume $U [mm] \subseteq [/mm] A$ kann es durchaus passieren, dass der UrsprungsPUNKT nicht im Unterraum liegt. ABER: Der NULLVEKTOR muss auch hier in U liegen.
Nun zu deiner Aufgabe: Wir haben gar keinen affinen Raum gegeben, sondern einen "einfachen" Vektorraum, d.h. dein "Wir hängen einen Vektor an einen beliebigen Punkt" geht hier nicht, ist nicht vorgesehen, passiert auch nicht, da es schlichtweg keine "PUNKTE" gibt.
Sondern: Wenn du einen Vektor visualisieren willst, passiert das anschaulich nur so, dass du einen Pfeil immer beim Ursprung "anlegst" und die Pfeilspitze ist das "Ziel". Nun hast du bereits geschrieben:
> Nach meinem
> Verständnis ist ein Vektorraum doch einfach eine Menge von
> Vectoren, für die gilt, das jede Linearkombination
> selbiger auch wieder Teil der Menge ist.
Und man sieht sehr leicht, dass für einen beliebigen Vektor $r [mm] \in \IR^n$ [/mm] in einem Untervektorraum U eben auch die Linearkombination $r - r = 0 [mm] \in [/mm] U$ liegen muss. Und visualisieren wir uns nun den Vektor $0 [mm] \in [/mm] U$ wie oben beschrieben, so landen wir eben beim Ursprung.
Zusammengefasst: Die Annahme es gäbe PUNKTE in einem Vektorraum ist falsch, PUNKTE gibt es nur in affinen Räumen. Und ohne Punkte ist deine Vorstellung falsch, in Vektorräumen gibt es nur einen Ursprung.
Gruß,
Gono
|
|
|
|
