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| Aufgabe | W..Unterraum eines Vektorraums V.
ZZ.: [mm] \{\alpha \in end(V) | \alpha(W) \subseteq W\}
[/mm]
einen Unterraum von end(V)bildet. |
Verständnis:
end(V)=L(V,V) sind alle linearen Abbildungen von V->V
[mm] \alpha [/mm] ist eine der linearen ABbildungen von V->V
Unterraum:
- für alle u,v [mm] \in [/mm] W gilt auch u+v [mm] \in [/mm] H (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition)
- für alle [mm] \lambda \in [/mm] K und alle u [mm] \in [/mm] H auch [mm] \lambda\cdot [/mm] u [mm] \in [/mm] H (Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation)
Was ist in diesem Fall das "H" ,was das u und das v?
Ich dachte vlt. ist H das Bild der Abbildung [mm] \alpha(W)?
[/mm]
ALso die Teilmenge von W die unter [mm] \alpha [/mm] getroffen wird.
Ich hab die Frage auch gepostet auf www.matheplanet.at.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:16 Fr 30.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> W..Unterraum eines Vektorraums V.
> ZZ.: [mm]\{\alpha \in end(V) | \alpha(W) \subseteq W\}[/mm]
> einen
> Unterraum von end(V)bildet.
>
> Verständnis:
> end(V)=L(V,V) sind alle linearen Abbildungen von V->V
> [mm]\alpha[/mm] ist eine der linearen ABbildungen von V->V
>
> Unterraum:
> - für alle u,v [mm]\in[/mm] W gilt auch u+v [mm]\in[/mm] H
> (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition)
> - für alle [mm]\lambda \in[/mm] K und alle u [mm]\in[/mm] H auch
> [mm]\lambda\cdot[/mm] u [mm]\in[/mm] H (Abgeschlossenheit bezüglich der
> Multiplikation)
>
> Was ist in diesem Fall das "H" ,was das u und das v?
> Ich dachte vlt. ist H das Bild der Abbildung [mm]\alpha(W)?[/mm]
> ALso die Teilmenge von W die unter [mm]\alpha[/mm] getroffen wird.
das ist alles ein wenig durcheinander geraten. Erstmal:
[mm] $V\,$ [/mm] ist hier ein Vektorraum. Die Menge [mm] $end(V)=L(V,V)\,$ [/mm] ist ebenfalls ein Vektorraum. Auf $end(V)$ ist $f [mm] \oplus [/mm] g$ definiert durch
$$(f [mm] \oplus g)(v):=f(v)+g(v)\,,$$
[/mm]
als (lineare) Abbildung $V [mm] \to V\,,$ [/mm] wobei das rechts stehende [mm] $+\,$ [/mm] die Addition in [mm] $V\,$ [/mm] bezeichnet, und analog wird
[mm] $$\lambda \odot [/mm] f$$ definiert durch
[mm] $$(\lambda \odot f)(v):=\lambda [/mm] * [mm] f(v)\,,$$
[/mm]
wobei auch hier das [mm] $*\,$ [/mm] rechterhand die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor bezeichnet. (Beachte: $(V,+,*)$ ist ein Vektorraum (eigentlich sollte man auch erwähnen, über welchem Körper, aus dem immer die Skalaren genommen werden), und somit ist der Ausdruck [mm] $\lambda*f(v)\,$ [/mm] "klar", wenn [mm] $(V,+,*)\,$ [/mm] klar ist - denn [mm] $f(v)\,$ [/mm] ist ja auch ein Element von [mm] $V\,,$ [/mm] weil $f: [mm] V\to \blue{V}\,.$)
[/mm]
Wegen der Definitionen schreibt man meist auch einfach $f [mm] +g\,$ [/mm] anstelle von $f [mm] \oplus [/mm] g$ und [mm] $\lambda [/mm] * [mm] f\,$ [/mm] anstelle von [mm] $\lambda \odot f\,.$
[/mm]
Oben wird nun behauptet, wenn man einen Unterraum $W [mm] \subseteq [/mm] V$ gegeben hat, dass dann die Menge
[mm] $$M:=\{\alpha \in end(V) \text{ mit }\alpha(W) \subseteq W\}$$
[/mm]
ein Unterraum von [mm] $end(V)\,$ [/mm] ist.
Was klar ist:
Sind $f,g [mm] \in M\,,$ [/mm] so gilt sicherlich $f,g [mm] \in end(V)\,,$ [/mm] sofern man weiß oder bewiesen hat, dass [mm] $(end(V),+,*)\,$ [/mm] ("sauberer notiert": [mm] $(end(V),\oplus,\odot)$) [/mm] ein Vektorraum ist:
Damit gilt $(f+g) [mm] \in [/mm] end(V)$ ("sauberer notiert": $(f [mm] \oplus [/mm] g) [mm] \in [/mm] end(V)$) und auch [mm] $(\lambda*f) \in [/mm] end(V)$ ("sauberer": [mm] $(\lambda \odot f)\in [/mm] end(V)$), wenn [mm] $\lambda$ [/mm] ein Skalar (des entsprechenden Körpers) ist.
Aber, um auch $(f+g) [mm] \in [/mm] M$ und [mm] $(\lambda [/mm] *f) [mm] \in [/mm] M$ zu erkennen, müssen wir noch etwas zeigen, nämlich:
[mm] $$(I)\;\;\;(f+g)(W) \subseteq [/mm] W$$
und
[mm] $$(II)\;\;\;(\lambda*f)(W) \subseteq W\,.$$
[/mm]
Ich beginne mal mit [mm] $(II)\,,$ [/mm] du versuchst, das zu Ende zu schreiben und dann versuchst Du Dich an [mm] $(I):\,$
[/mm]
Um
[mm] $$\underbrace{(\lambda * f)(W)}_{:=(\lambda \odot f)(W)} \subseteq [/mm] W$$ einzusehen, haben wir nur zu zeigen:
Für jedes $w [mm] \in [/mm] W$ ist [mm] $(\lambda \odot [/mm] f)(w) [mm] \in W\,.$
[/mm]
Per Definitionem ist
[mm] $$(\lambda [/mm] * [mm] f)(w)=\lambda*f(w)\,,$$
[/mm]
und weil $f: V [mm] \to [/mm] V$ ein Endomorphismus war mit $f(W) [mm] \subseteq [/mm] W$ (es ist ja $f [mm] \in [/mm] M$), muss somit $f(w) [mm] \in [/mm] W$ gelten. [mm] $W\,$ [/mm] ist aber ein Unterraum von [mm] $V\,.$ [/mm] Was folgt daher für jedes Element [mm] $\tilde{w} \in W\,,$ [/mm] wenn man es mit einem Skalar [mm] $\tilde{\lambda}$ [/mm] multipliziert - was weißt Du dann über [mm] $(\tilde{\lambda}*\tilde{w})$? [/mm] Wo liegt es?
Und nun beachte, dass Du hier anstelle von [mm] $\tilde{\lambda}$ [/mm] oben einfach [mm] $\lambda$ [/mm] als Skalar hattest, und anstelle von [mm] $\tilde{w}$ [/mm] steht [mm] $f(w)\,,$ [/mm] aber $f(w) [mm] \in [/mm] W$ galt ja wegen $f [mm] \in M\,.$ [/mm] Also?
Bemerkung bzw. Erinnerung:
Sei [mm] $(V,+,*)\,$ [/mm] ein Vektorraum über einem Körper [mm] $K\,.$ [/mm] Dann ist $+: V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ eine Abbildung mit gewissen Eigenschaften, wobei man definiert:
$$v,w [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow v+w:=+(v,w)\,,$$
[/mm]
und analog hat man sich bei $*: K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ auf die Schreibweise
[mm] $$\lambda \in [/mm] K, v [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow \lambda *v:=*(\lambda,v)$$
[/mm]
geeinigt. Hierbei könnte man für [mm] $+\,$ [/mm] und [mm] $*\,$ [/mm] auch schon andere Symbole verwenden, da man diese schon woanders benutzt. Aber da sich deren Bedeutung aus dem Zusammenhang ergibt, bezeichnet man hier die Abbildungen mit den gleichen Symbolen wie auch bei der Addition in [mm] $\IR\,,$ $\IC\,,$ [/mm] oder oder oder... . (Strenggenommen hat ja die Addtion in [mm] $\IR$ [/mm] auch schon einen anderen Definitionsbereich wie etwa die Addition in [mm] $\IZ\,,$ [/mm] und dennoch benutzt man da die gleiche Notation [mm] $+\,,$ [/mm] und schreibt nicht etwa $3 [mm] +_{|\IR} [/mm] 5=8$ oder $3 [mm] +_{|\IZ}5=8$ [/mm] wenn $+: [mm] \IC \times \IC \to \IC$ [/mm] die Addition in [mm] $\IC$ [/mm] bezeichnet - aus gewissen Gründen ist das auch nicht notwendig! Naja, ich schweife ein wenig ab, also zurück...)
Eine Teilmenge $W [mm] \subseteq [/mm] V$ heißt dann Unter(vektor)raum von [mm] $V\,,$ [/mm] wenn gelten:
1.) Für alle $x,y [mm] \in [/mm] W$ gilt, dass die Summe $x+y$ die Eigenschaft
$$(x+y) [mm] \in [/mm] W$$
hat. Beachte dabei: Wegen $W [mm] \subseteq [/mm] V$ sind ja [mm] $x,y\,$ [/mm] auch Elemente aus [mm] $V\,,$ [/mm] d.h. in [mm] $V\,$ [/mm] kann ich $x+y$ berechnen, weil ja $+$ den Definitionsbereich $V [mm] \times [/mm] V$ hat.
2.) Für jedes [mm] $\lambda \in [/mm] K$ und $x [mm] \in [/mm] W$ gilt
[mm] $$(\lambda [/mm] *x) [mm] \in W\,.$$
[/mm]
Man kann das auch anders ausdrücken: Dazu erinnere Dich: Ist $f:M [mm] \to [/mm] N$ eine Abbildung und $T [mm] \subseteq M\,,$ [/mm] so ist
[mm] $$f_{|T}:T \to [/mm] N$$
mit
[mm] $$f_{|T}(m):=f(m)$$
[/mm]
für alle $m [mm] \in [/mm] T$ eine wohldefinierte Abbildung, die man die Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $T\,$ [/mm] nennt.
Damit kann man sagen:
$W [mm] \subseteq [/mm] V$ heißt Unter(vektor)raum, wenn gelten:
[mm] $$(1.)\;\;\;+_{|W \times W}(W \times [/mm] W) [mm] \subseteq [/mm] W$$
(das Bild der "auf [mm] $W\,$ [/mm] eingeschränkten Addition" liegt wieder in $W$)
und
[mm] $$(2.)\;\;\;*_{|K \times W}(K \times [/mm] W) [mm] \subseteq W\,.$$
[/mm]
Beachte dabei:
Per Definitionem weiß man erstmal nur, wenn [mm] $V\,$ [/mm] Vektorraum und $W [mm] \subseteq [/mm] V$ ist:
$$+_{|W [mm] \times [/mm] W}: W [mm] \times [/mm] W [mm] \to [/mm] V$$
und
$$*_{|K [mm] \times [/mm] W}: K [mm] \times [/mm] W [mm] \to V\,.$$
[/mm]
Also wissen tust Du erstmal nichts anderes als
$$+_{|W [mm] \times [/mm] W}(W [mm] \times [/mm] W) [mm] \subseteq [/mm] V$$
und
$$*_{|K [mm] \times [/mm] W}(K [mm] \times [/mm] W) [mm] \subseteq V\,.$$
[/mm]
In [mm] $(1.)\,$ [/mm] und [mm] $(2.)\,$ [/mm] stehen also echte Forderungen! Üblicher ist es aber, diese in der Form von [mm] $(I)\,$ [/mm] und [mm] $(II)\,$ [/mm] zu verlangen. Es hilft aber auch, das mal in Worten auszudrücken:
Die Forderung in [mm] $(I)\,$ [/mm] besagt, dass, wenn man zwei Elemente aus [mm] $W\,$ [/mm] hernimmt, deren Summe in $V$ bildet (das geht, weil das wegen $W [mm] \subseteq [/mm] V$ ja auch Elemente in [mm] $V\,$ [/mm] sind), diese dann auch in [mm] $W\,$ [/mm] liegen muss. (Man wird immer wissen, dass diese Summe in [mm] $V\,$ [/mm] liegt - andernfalls wäre [mm] $V\,$ [/mm] ja kein Vektorraum!)
Analog besagt [mm] $(II)\,,$ [/mm] dass die Multiplikation eines Skalaren mit einem Element aus [mm] $W\,,$ [/mm] wenn man sie in [mm] $V\,$ [/mm] ausführt, ein Element liefern muss, dass nicht nur - selbstverständlicherweise - in [mm] $V\,,$ [/mm] sondern sogar in [mm] $W\,$ [/mm] liegen muss!
Vielleicht ist Dir auch bekannt, dass man in äquivalenter Weise auch fordern kann:
$W [mm] \subseteq [/mm] V$ heißt Unter(vektor)raum, wenn für Skalare [mm] $\lambda,\mu$ [/mm] und $x,y [mm] \in [/mm] W$ stets
[mm] $$(\lambda*x+\mu*y) \in [/mm] W$$
gilt. (Bemerkung dazu: Meist benutzt man das Wort "Skalar", wenn man ein Element des Körpers meint, über dem man den Vektorraum betrachtet!)
Viele Grüße,
Marcel
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Danke dir mal ganz herzlich.
> Sind $ f,g [mm] \in M\,, [/mm] $ so gilt sicherlich $ f,g [mm] \in end(V)\,, [/mm] $ sofern man weiß oder bewiesen hat, dass $ [mm] (end(V),+,\cdot{})\, [/mm] $ ("sauberer notiert": $ [mm] (end(V),\oplus,\odot) [/mm] $) ein Vektorraum ist:
Warum gilt $ f,g [mm] \in M\,, [/mm] $ so gilt sicherlich $ f,g [mm] \in end(V)\, [/mm] nur wenn L(V,V) ein Vektorraum ist? Gilt dass nicht automatisch da W ein Teilraum vonm Vektorraum V ist?
L(V,V) ist doch immer ein Vektorraum wenn V ein Vektorraum ist!
Ich glaub mir ist nicht klar, was die Menge M überhaupt ist!
> Per Definitionem ist
$ [mm] (\lambda \cdot{} f)(w)=\lambda\cdot{}f(w)\,, [/mm] $
Warum gilt die eigenschaft der Linearität?
> Was folgt daher für jedes Element $ [mm] \tilde{w} \in W\,, [/mm] $ wenn man es mit einem Skalar $ [mm] \tilde{\lambda} [/mm] $ multipliziert - was weißt Du dann über $ [mm] (\tilde{\lambda}\cdot{}\tilde{w}) [/mm] $? Wo liegt es?
W ist ein Teilrauma also [mm] f(w*\lambda) \in [/mm] W
ja und daher [mm] f(\tilde{w})\subseteq [/mm] W und [mm] f(\tile{\lambda}*\tilde{w})\subseteq [/mm] W
> Und nun beachte, dass Du hier anstelle von $ [mm] \tilde{\lambda} [/mm] $ oben einfach $ [mm] \lambda [/mm] $ als Skalar hattest, und anstelle von $ [mm] \tilde{w} [/mm] $ steht $ [mm] f(w)\,, [/mm] $ aber $ f(w) [mm] \in [/mm] W $ galt ja wegen $ f [mm] \in M\,. [/mm] $ Also?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke dir mal ganz herzlich.
>
> > Sind [mm]f,g \in M\,,[/mm] so gilt sicherlich [mm]f,g \in end(V)\,,[/mm]
> sofern man weiß oder bewiesen hat, dass
> [mm](end(V),+,\cdot{})\,[/mm] ("sauberer notiert":
> [mm](end(V),\oplus,\odot) [/mm]) ein Vektorraum ist:
> Warum gilt $ f,g [mm]\in M\,,[/mm] $ so gilt sicherlich $ f,g [mm]\in end(V)\,[/mm]
> nur wenn L(V,V) ein Vektorraum ist?
wieso "nur"?
> Gilt dass nicht
> automatisch da W ein Teilraum vonm Vektorraum V ist?
Was hat das mit dem Teilraum zu tun? Es geht um die Menge [mm] $M\,.$ [/mm] Das ist die Menge,von der Du zeigen sollst, dass sie ein Unterraum von [mm] $end(V)\,$ [/mm] ist - sie hatte bei der Aufgabenstellung nur noch keinen Namen. Ich habe sie halt [mm] $M\,$ [/mm] genannt.
Edit: AHhhh, jetzt verstehe ich Dein Problem. Meine Satzkonstruktion war ein wenig schlecht. Der Inhalt, den ich vermitteln wollte, steht nach dem Doppelpunkt:
Wenn man weiß, dass [mm] $(end(V),\oplus,\odot)$ [/mm] ein Vektorraum ist, dann weiß man für $f,g [mm] \in [/mm] end(V)$ auch, dass $(f [mm] \oplus [/mm] g) [mm] \in [/mm] end(V)$ gilt. Zugegeben, das hätte ich didaktisch besser schreiben können!
> L(V,V) ist doch immer ein Vektorraum wenn V ein Vektorraum
> ist!
Sicherlich, sofern man die Addition ZWEIER FUNKTIONEN punktweise definiert und die Multiplikation einer Funktion mit einer Skalaren ebenfalls punktweise - was genau ich damit meine, habe ich ja schonmal geschrieben im letzten Post.
> Ich glaub mir ist nicht klar, was die Menge M überhaupt
> ist!
Dann schau' in die Definition:
[mm] $$M=\{\alpha \in end(V):\; \alpha(W) \subseteq W\}\,.$$
[/mm]
[mm] $M\,$ [/mm] besteht genau aus den Funktionen [mm] $f\,$ [/mm] aus [mm] $end(V)=L(V,V)\,,$ [/mm] deren Bildmenge in [mm] $W\,$ [/mm] enthalten ist. Anders gesagt:
$$f [mm] \in [/mm] M [mm] \gdw [/mm] $$
[mm] $f\,$ [/mm] ist eine lineare Abbildung $V [mm] \to [/mm] V$ derart, dass $f(w) [mm] \in [/mm] W$ für alle $w [mm] \in [/mm] W$ gilt.
D.h.: Nehme ich irgendein Element $x [mm] \in [/mm] M$ her, so hat es die Eigenschaft: $x: V [mm] \to [/mm] V$ ist eine lineare Abbildung mit $x(w) [mm] \in [/mm] W$ für alle $w [mm] \in W\,.$ [/mm] Umgekehrt ist jede lineare Abbildung mit der letztstehenden Eigenschaft sicherlich in [mm] $M\,.$
[/mm]
> > Per Definitionem ist
>
> [mm](\lambda \cdot{} f)(w)=\lambda\cdot{}f(w)\,,[/mm]
> Warum gilt
> die eigenschaft der Linearität?
Das ist nicht die Linearität, sondern die Definition. Also: Wenn ich eine Funktion habe $f: V [mm] \to [/mm] V$ und einen Skalar [mm] $\lambda$, [/mm] dann kann ich doch "eine Multiplikation [mm] $\odot$ [/mm] der Art [mm] $\lambda \odot [/mm] f$ erstmal definieren, wie ich will. Ich könnte ja auch sagen [mm] $\lambda \odot [/mm] f$ soll stets etwa die Nullfunktion auf [mm] $V\,$ [/mm] ergeben. Aber hier macht man das naheliegendste:
Die "Multiplikation zwischen einem Skalaren [mm] $\lambda$ [/mm] und einem $f [mm] \in [/mm] end(V)$"
[mm] $$(\lambda \odot [/mm] f)$$
soll wieder eine Funktion $V [mm] \to [/mm] V$ ergeben. Diese wird definiert durch
[mm] $$(\lambda \odot f)(v):=\lambda [/mm] * [mm] f(v)\,,$$ [/mm]
für alle $v [mm] \in V\,,$ [/mm] und damit ist die Funktion [mm] $(\lambda \odot [/mm] f)$ stets sogar eine lineare Funktion $V [mm] \to V\,.$ [/mm] Beachte: Die Berechnung rechterhand:
[mm] $\lambda [/mm] *f(v)$ findet im Vektorraum [mm] $V\,$ [/mm] statt, weil ja auch $f(v) [mm] \in V\,.$
[/mm]
Wegen $W [mm] \subseteq [/mm] V$ gilt dann auch
[mm] $$(\lambda \odot f)(w)=\lambda [/mm] * f(w)$$
für alle $w [mm] \in W\,.$ [/mm]
> > Was folgt daher für jedes Element [mm]\tilde{w} \in W\,,[/mm] wenn
> man es mit einem Skalar [mm]\tilde{\lambda}[/mm] multipliziert - was
> weißt Du dann über [mm](\tilde{\lambda}\cdot{}\tilde{w}) [/mm]? Wo
> liegt es?
> W ist ein Teilrauma also [mm]f(\underbrace{w*\lambda}_{\red{\text{besser so schreiben:} \lambda*w}}) \in W[/mm]
Ja, so kann man prinzipiell auch argumentieren, aber mit allen wesentlichen Argumenten: Weil [mm] $W\,$ [/mm] Teilraum ist, ist für $w [mm] \in [/mm] W$ auch [mm] $\lambda*w \in [/mm] W$ und daher wegen [mm] $\lambda*f(w)=f(\lambda*w)$ [/mm] (die letzte Gleichheit gilt wegen der Linearität von [mm] $f\,$) [/mm] auch [mm] $\lambda*f(w) \in W\,$ [/mm] - denn wegen $f [mm] \in [/mm] M$ war ja [mm] $f(\tilde{w}) \in [/mm] W$ für alle [mm] $\tilde{w} \in W\,.$ [/mm]
Alle wesentlichen Argumente nochmal zusammengefasst:
1.) Weil [mm] $W\,$ [/mm] Teilraum ist, gilt [mm] $\lambda*w \in [/mm] W$ für Skalare [mm] $\lambda$ [/mm] und $w [mm] \in W\,.$
[/mm]
2.) Weil [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere linear ist, gilt [mm] $\lambda*f(w)=f(\lambda*w)\,.$
[/mm]
3.) Weil $f [mm] \in M\,$ [/mm] und [mm] $\lambda*w=\tilde{w} \in W\,,$ [/mm] folgt natürlich auch [mm] $f(\tilde{w}) \in W\,.$ [/mm] Mit 2.) ist daher [mm] $\lambda*f(w) \in [/mm] W$ bewiesen!
Es hätte aber gereicht, einfach zu sagen, dass:
Aus $f(w) [mm] \in [/mm] W$ folgt sofort [mm] $\lambda*f(w) \in [/mm] W$ wegen der Teilraumeigenschaft von [mm] $W\,.$
[/mm]
> ja und daher [mm]f(\tilde{w})\subseteq[/mm] W
Das [mm] $\subseteq$ [/mm] gehört ersetzt durch [mm] $\in\,.$ [/mm]
> und
> [mm]f(\tile{\lambda}*\tilde{w})\subseteq[/mm] W
>
Auch hier solltest Du -sinnvollerweise - [mm] $\in$ [/mm] anstelle von [mm] $\subseteq$ [/mm] schreiben!
> > Und nun beachte, dass Du hier anstelle von [mm]\tilde{\lambda}[/mm]
> oben einfach [mm]\lambda[/mm] als Skalar hattest, und anstelle von
> [mm]\tilde{w}[/mm] steht [mm]f(w)\,,[/mm] aber [mm]f(w) \in W[/mm] galt ja wegen [mm]f \in M\,.[/mm]
> Also?
Nun, was bleibt noch zu zeigen
Es bleibt nachzuweisen:
Wir wissen: Wenn wir $f,g [mm] \in [/mm] M$ hernehmen und $f [mm] \oplus [/mm] g$ (hier rechnen wir in [mm] $V\,$) [/mm] berechnen, dann ist
$$f [mm] \oplus [/mm] g$$
sicherlich in [mm] $end(V)\,,$ [/mm] denn per Definitionem von [mm] $M\,$ [/mm] ist $M [mm] \subseteq end(V)\,$ [/mm] und letzteres ist selbst ein Vektorraum.
Um noch zu erkennen, dass $(f [mm] \oplus [/mm] g)(W) [mm] \subseteq [/mm] W$ gilt (diese Eigenschaft gehört ja auch zur Charakterisierung von [mm] $M\,$), [/mm] kann man etwa so vorgehen:
Für alle $w [mm] \in [/mm] W$ gilt
$$(f [mm] \oplus [/mm] g)(w)=f(w)+g(w) [mm] \in W\,,$$
[/mm]
weil $f(w) [mm] \in [/mm] W$ und $g(w) [mm] \in [/mm] W$ sind, und daher die Summe zweier Elemente aus [mm] $W\,,$ [/mm] hier [mm] $f(w)\,$ [/mm] und [mm] $g(w)\,,$ [/mm] wieder in [mm] $W\,$ [/mm] liegen muss, da [mm] $W\,$ [/mm] Unterraum ist. Damit ist gezeigt:
$$f,g [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] (f [mm] \oplus [/mm] g) [mm] \in M\,.$$
[/mm]
Nun klarer?
Grüße,
Marcel
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