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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Di 21.03.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum der Dimension n, n [mm] \ge [/mm] 2. Es sei U ein Teilraum von V, U [mm] \not= [/mm] V, mit der Eigenschaft U [mm] \cap [/mm] W [mm] \not= [/mm] {0} für alle 2-dim Teilräume W von V.
Man zeige: dim (U) = n-1 |
hi, könnt ihr mir helfen wie ich bei solchen aufgaben am besten rangeh??
hab gedacht ich nehm mir mal ne Basis in U : [mm] {a_1,....,a_r} [/mm] und ergänz diese zu einer Basis von V: [mm] {a_1,...a_n}. [/mm] jetzt weiß ich aber leider nicht weiter... das ist irgendwie viel zu abstrakt für mich... vielleicht habt ihr ein paar Tipps für mich wie ich mir das vorstellen kann??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Di 21.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich denke, das geht recht schnell mit Widerspruch:
angenommen die Dimension wäre (n-2) oder kleiner, dann kann man aus dem Rest einen Unterraum W' der Dimension 2 wählen, so dass der Schnitt dann offensichtlich nur der Nullvektor ist...
Du musst halt nur " W' aus dem Rest" ein bischen präziser mit dem Basisergänzungsatz fassen..
edit: und evtl das "offensichtliche" des Schnittes ein wenig ausbauen - je nachdem, wieviel ihr dazu schon gemacht habt.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Di 21.03.2006 | | Autor: | Riley |
VIELEN dank für deinen tipp! aber wie kommst du auf diese annahme??
also, wenn { [mm] a_1,..., a_r [/mm] } = [mm] Basis_U [/mm] und diese ergänzt: [mm] Basis_V [/mm] = { [mm] a_1,....,a_n [/mm] }
dann nehm ich an r [mm] \le [/mm] n-2
aus dem rest könnt ich ja dann z.B. nehmen W = Lin [mm] (a_{r+1},a_{r+2} [/mm] )
dim(w)= 2 ist klar. und U geschnitten W ist {0 } bzw warum ist das der Nullvektor und nicht die leere Menge??
und wie komm ich jetzt zu dem widerspruch....??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Di 21.03.2006 | | Autor: | SEcki |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> VIELEN dank für deinen tipp! aber wie kommst du auf diese
> annahme??
Widerspruchsannahme?!?
> also, wenn { [mm]a_1,..., a_r[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} = [mm]Basis_U[/mm] und diese ergänzt:
> [mm]Basis_V[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]a_1,....,a_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> dann nehm ich an r [mm]\le[/mm] n-2
> aus dem rest könnt ich ja dann z.B. nehmen W = Lin
> [mm](a_{r+1},a_{r+2}[/mm] )
Ja.
> dim(w)= 2 ist klar. und U geschnitten W ist {0 } bzw warum
> ist das der Nullvektor und nicht die leere Menge??
In jedem unterraum ist der Nullvektor. Warum ist der Schnitt der beidne Unterräume denn nur der 0 Vektor?
> und wie komm ich jetzt zu dem widerspruch....??
Was ist die Annahme? Was gilt für jeden 2 dim. unterraum? Jetzt haben wir aber einen 2-dim Unterraum konstruiert, der ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Di 21.03.2006 | | Autor: | Riley |
In jedem unterraum ist der Nullvektor. Warum ist der Schnitt der beidne Unterräume denn nur der 0 Vektor?
ja weil sie sonst keine gemeinsamen vektoren haben??
Was ist die Annahme? Was gilt für jeden 2 dim. unterraum? Jetzt haben wir aber einen 2-dim Unterraum konstruiert, der ...
die annahme ist, dass die dim(U) [mm] \le [/mm] n-2. ich check das aber irgendwie noch nicht... jede 2dim. unterraum hat eine basis, die aus 2 elementen besteht'...?
hm, auf jeden fall müsste dann dim(U) +2 < n sein, und ist das ein widerspruch zur voraussetzung dim(U)+1 < n...?
aber wieso dürfen wir unsre Annahme eigentlich so machen, weil in der aufgabe steht doch, dass U geschnitten W ungleich nullvektor sein soll...??
...sorry4somanyquestions...
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zum schnitt: klar! gehen wir doch mal ganz formal vor: sei also v [mm] \in [/mm] U und auch [mm] \in [/mm] W. dann gilt [mm] \sum_{i=1}^r c_i a_i=v=c_{r+1} a_{r+1} [/mm] + [mm] c_n a_n. [/mm] aus der lin unabhängigkeit der basis [mm] a_i [/mm] folgt aber schon dass alle [mm] c_i=0, [/mm] also v=0.
zum widerspruchsbeweis: naja, es muss ja so oder so [mm] dimU\le [/mm] n gelten. wenn du jetzt annimmst, dass [mm] dimU\not=(n-1), [/mm] dann muss [mm] dimU\le [/mm] (n-2) sein. wir haben aber gezeigt dass dann die zusätzliche forderung der aufgabe nicht mehr erfüllt ist, denn wir haben gezeigt, dass es ein [mm] W\subset [/mm] V gibt mit dimW=2 und [mm] U\cap [/mm] W={0}. es kann also [mm] dimU\le [/mm] (n-2) auch nicht sein. es bleibt nur dimU=n-1 übrig.
so das war jetzt sehr ausführlich ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Di 21.03.2006 | | Autor: | Riley |
*lichtaufgeh* hey DANKE für deine erklärung!!! jetzt kann ich das ganze nachvollziehen... *freu*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Mi 22.03.2006 | | Autor: | DeusRa |
Habe noch eine kurze Frage zur Aufgabe, da ich eines nicht ganz verstehe.
Zitat von calabi-yau " Wir haben aber gezeigt dass dann die zusätzliche forderung der aufgabe nicht mehr erfüllt ist..."
Also er meint, dass es ein W mit dim W = 2 gibt mit [mm] U\cap [/mm] W = {0}.
Aber wieso darf man denn sagen, dass die Voraussetzung nicht mehr stimmt.
Man kann doch nicht Voraussetzungen einfach negieren (obwohl ich den Beweis bzw. die Argumentation nachvollziehen kann) ???
Müsste das nicht eher darauf deuten, dass [mm] U\cap [/mm] W = leere Menge ???
Dann wäre ja die Vor. wieder erfüllt für dim W = 2.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Mi 22.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
calabi-yau führt einfach einen Widerspruchsbeweis: Nehmen wir an, dass A stimmt, dann wäre eine der Forderungen der Aufgabe (die müssen halt
2zu jeder Zeit" erfüllt sein) verletzt, nicht erfüllt. Konkret hier:
calabi-yau beweist, dass falls [mm] \dim(U)\le(n-2), [/mm] dann ist die Forderung
[mm] U\cap W\not={0} [/mm] für alle 2-dim Teilräume W von V
verletzt, also kann die Annahme, dass [mm] \dim(U)\le(n-2) [/mm] nicht stimmen. So zu sagen calabi-yau betrachtet jeden möglichen Fall außer [mm] \dim(U)=n-1 [/mm] und zeigt, dass keiner von diesen Fällen (außer [mm] \dim(U)=n-1 [/mm] ) alle Forderungen der Aufgabe erfüllt.
Gruß,
dormant
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