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| Aufgabe | Sei [mm] \latex \Omega \subset \mathbb{R}^{n}\latex [/mm] ein Gebiet mit Lipschitzrand und
[mm] \latex C_{0}^{\infty} (\Omega):=\{v\in C^{\infty}(\bold \Omega) : supp(v)\subset \bold \Omega\}
[/mm]
[mm] L_{0}^{2}(\Omega):=\{q \in L^{2}(\bold \Omega):\int_{\bold \Omega} q(\bold x) \,\mathrm{d}\bold x =0 \}
[/mm]
und
[mm] H_{0}^{1} (\Omega):=\{\bold u \in \bold L^{2}(\bold \Omega): D^{1}\bold u(=\nabla \bold u)\in \bold L^{2}(\bold \Omega), \bold u|_{\partial \bold \Omega}=0\}\latex.
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \latex C_{0}^{\infty} (\Omega) \subset H_{0}^{1} (\Omega) \latex
[/mm]
und
[mm] \latex C_{0}^{\infty} (\Omega) \subset L_{0}^{2}(\Omega)\latex. [/mm] |
Hallo ihr lieben,
ich bin auf zwei Inklusionen gestoßen, die mir leider nicht einleuchten...
Es geht um Sobolev-, Hölder-, und Lebesgueräume.
Meine Überlegungen:
stetig [mm] \latex \Rightarrow\latex [/mm] integrierbar, also
[mm] \latex C^{\infty} (\Omega) \subset H^{1} (\Omega) \latex
[/mm]
und
[mm] \latex C^{\infty} (\Omega) \subset L^{2}(\Omega)\latex.
[/mm]
...nicht wahr?...
Und natürlich
[mm] \latex C_{0}^{\infty} (\Omega) \subset C^{\infty} (\Omega)\latex. [/mm]
Es ist ja auch klar, dass
[mm] \latex H_{0}^{1} (\Omega) \subset H^{1} (\Omega) \latex
[/mm]
und
[mm] \latex L_{0}^{2}(\Omega) \subset L^{2}(\Omega)\latex
[/mm]
gelten.
Aber an diese Stelle komme ich nicht weiter.
Für Denkanstöße wäre ich sehr dankbar!
lg
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Ich hatte gerade folgende überlegung:
[mm] \latex \Omega\latex [/mm] ist ein Gebiet, also offen.
Wenn der support in [mm] \latex \Omega\latex [/mm] kompakt enthalten ist, dann ist die Funktion auf dem Rand doch 0, oder?
Das würde dann
[mm] \latex C_{0}^{\infty} \subset H_{0}^{1}\latex
[/mm]
erklären, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 19.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Di 22.04.2014 | | Autor: | simplify |
Hat denn niemand ein Idee?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Di 22.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Hat denn niemand ein Idee?
Eine Idee hab ich leider nicht, aber ich habe mal die Fälligkeit verlängert.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 19.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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