matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - Moduln und VektorräumeTeilmengen und Untervektorraum
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Teilmengen und Untervektorraum
Teilmengen und Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Teilmengen und Untervektorraum: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Do 03.12.2009
Autor: Goth

Aufgabe
Es seien [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] Teilmengen eines Vektorraumes V. Zeigen Sie:
a) [mm] = [/mm] + [mm] [/mm]
b) [mm] [/mm] ⊆ [mm] [/mm] ∩ [mm] [/mm]
c) Für einen Untervektorraum U des Vektorraumes V mit U [mm] \not= [/mm] V gilt: [mm] (V\U) [/mm] = V.
Geben Sie in b) ein Beispiel an, das zeigt, dass nicht immer Gleichheit besteht.


Hallo,

ich weiß nicht, wie man das zeigen kann - völlig überfragt :-(

Danke schon mal für eure Hilfe :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Teilmengen und Untervektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Do 03.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Es seien [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] Teilmengen eines Vektorraumes V.
> Zeigen Sie:
>  a) [mm]= [/mm] + [mm][/mm]

> Hallo,
>  
> ich weiß nicht, wie man das zeigen kann - völlig
> überfragt :-(

Hallo,

das gibt uns wenig Hinweise darauf, wie man Dir helfen kann.
Man muß schon wissen, ob die Bezeichnungen unklar sind, die Aussage, oder ob ein eingeschlagener Weg in eine Sackgasse führte.
Schildere also Dein problem konkret.

>  a) [mm]= [/mm] + [mm][/mm]

Machen wir zum Warmwerden mal ein Beispiel: nehmen wir mal als VR den [mm] \IR^4, [/mm]

[mm] M_1:=\{\vektor{1\\2\\3\\4}, \vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{3\\4\\5\\6}\}, [/mm]

[mm] M_2:=\{ \vektor{2\\2\\2\\2}, \vektor{1\\0\\0\\0}\}. [/mm]

Was ist [mm] M_1\cup M_2, [/mm]

[mm] , [/mm]

[mm] , [/mm]

[mm] , [/mm]

[mm] + [/mm]  ?

Stimmt die Aussage?


Zunächst nur kurz  zum Beweis:  

Ich würde die beiden Teilmengenbeziehungen [mm] \subseteq [/mm] und [mm] \supseteq [/mm] zu zeigen versuchen.
Dabei kann man verwenden, daß [mm] M_1[/mm] [/mm] ∪ [mm]M_2 eine Basis von [/mm] enthält,
für die [mm] M_i [/mm] und [mm] [/mm] entsprechend.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Teilmengen und Untervektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Do 03.12.2009
Autor: Goth

War wohl noch etwas früh heute morgen.

Also mein Problem beginnt schon damit, dass ich nicht recht weiß, was ich mir unter ein [mm] "M_1+M_2" [/mm] vorstellen soll.

Die Vereinigung von [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] speziell für dieses Beispiel wäre ja:
$ [mm] M_1 \cup M_2:=\{\vektor{1\\2\\3\\4}, \vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{3\\4\\5\\6}\, \vektor{2\\2\\2\\2}, \vektor{1\\0\\0\\0}\}, [/mm] $

[mm] M_1+M_2 [/mm] müsste dann an sich ebenfalls eine 6-elementige Menge sein, wo jeder Vektor aus der einen Menge mit dem Vektor aus der anderen Menge addiert wird.

$ [mm] M_1 [/mm] + [mm] M_2:=\{\vektor{3\\4\\5\\6}, \vektor{3\\3\\3\\3}, \vektor{5\\6\\7\\8}\, \vektor{2\\3\\4\\5}, \vektor{2\\1\\1\\1}\, \vektor{4\\4\\5\\6}\}, [/mm] $

Wäre dann nicht das gleiche.

Mit dem Beweisvorschlag für Teil b) hilft mir vorerst nur bedingt, aber der Hinweis mit der Basis werde ich noch mal verfolgen. :-)




Bezug
                        
Bezug
Teilmengen und Untervektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Do 03.12.2009
Autor: angela.h.b.


> weiß, was ich mir unter ein [mm]"M_1+M_2"[/mm] vorstellen soll.

Hallo,

hier muß man gar nicht die Vorstellung bemühen, sondern die Definitionen.

Ich bin mir ziemlich sicher, daß Ihr diese Summe für Untervektorräume Vektorräume U und W von V definiert habt, und zwar so:

U+W:={u+w| [mm] u\in [/mm] U, [mm] w\in W\}. [/mm]

In Worten: da sind alle Vektoren drin, die man als Summe von einem Vektor aus U und einem aus V schreiben kann, und man kann zeigen, daß U+W wieder ein UVR ist

[mm] M_1, M_2 [/mm] sind aber n.V. Mengen und nicht  VRe, und so können wir nicht davon ausgehen, daß ihre Summe überhaupt definiert ist.
(Es sei denn, Ihr hättet die Summe für beliebige Teilmengen von VRen definiert, dann hättest Du [mm] M_1+M_2 [/mm] es unten richtig aufgeschrieben. Jedoch...)

Aber es ist in Deiner Aufgabe nicht die Rede von [mm] M_1+M_2, [/mm] sondern von [mm] +. [/mm]
Und hier paßt's dann, denn die [mm] [/mm] sind Unterräume von V.


> Die Vereinigung von [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] speziell für dieses
> Beispiel wäre ja:
>  [mm]M_1 \cup M_2:=\{\vektor{1\\2\\3\\4}, \vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{3\\4\\5\\6}\, \vektor{2\\2\\2\\2}, \vektor{1\\0\\0\\0}\},[/mm]

Genau, einfach zusammengeschüttet.

>  
> [mm]M_1+M_2[/mm] müsste dann an sich ebenfalls eine 6-elementige
> Menge sein, wo jeder Vektor aus der einen Menge mit dem
> Vektor aus der anderen Menge addiert wird.
>  
> [mm]M_1 + M_2:=\{\vektor{3\\4\\5\\6}, \vektor{3\\3\\3\\3}, \vektor{5\\6\\7\\8}\, \vektor{2\\3\\4\\5}, \vektor{2\\1\\1\\1}\, \vektor{4\\4\\5\\6}\},[/mm]


In der Aufgabe geht#s nun aber nicht um [mm] M_1+M_2 [/mm] und [mm] M_1\cup M_2 [/mm] sondern daraum, daß

[mm] =+ . [/mm]

Und hierzu mußt Du Dich mit den spitzen Klammern beschäftigen.

<A> ist das Erzeugnis(=lineare Hülle =Span) von A, also die Menge aller Vektoren, die man als Linearkombination von Vektoren aus A schreiben kann.

Und nun folgt Teil 2 unserer kleinen Meditation:

denke drüber nach, wie die Elemente aussehen, die in [mm] , , , + [/mm] sind.

Gruß v. Angela




Bezug
                                
Bezug
Teilmengen und Untervektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:44 So 06.12.2009
Autor: Goth

Ich habe mir mal ein Beispiel zusammengebastelt.

[mm] M_1 [/mm] = [mm] \{\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1}\} [/mm]
[mm] M_2= \{\vektor{0\\2}, \vektor{1\\2}\} [/mm]

[mm] [/mm] = [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] = [mm] det(\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1}) [/mm] = 1*1 - 0*1 = 1

[mm] [/mm] = [mm] \vmat{ 0 & 2 \\ 1 & 2 } [/mm] = [mm] det(\vektor{0\\2}, \vektor{1\\2}) [/mm] = 1*2 - 2*0 = 2

Also [mm] + [/mm] = 3

[mm] [/mm] = [mm] \vmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2} [/mm] = det [mm] (\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1}, \vektor{0\\2}, \vektor{1\\2}) [/mm] = 1*1 + 1*2 +0*2 - 0*1 - 1*0 - 2*1 = 1+2+0-0-0-2 = 1

Damit wäre das schon ein Gegenbeispiel für [mm] [/mm] =  [mm] +, [/mm] weil gilt hier ja offensichtlich nicht?!

Bezug
                                        
Bezug
Teilmengen und Untervektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Mo 07.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Ich habe mir mal ein Beispiel zusammengebastelt.
>  
> [mm]M_1[/mm] = [mm]\{\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1}\}[/mm]
>  [mm]M_2= \{\vektor{0\\2}, \vektor{1\\2}\}[/mm]
>  
> [mm][/mm] = [mm]\vmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }[/mm] = [mm]det(\vektor{1\\0}, \vektor{1\\1})[/mm]
> = 1*1 - 0*1 = 1
>  
> [mm][/mm] = [mm]\vmat{ 0 & 2 \\ 1 & 2 }[/mm] = [mm]det(\vektor{0\\2}, \vektor{1\\2})[/mm]
> = 1*2 - 2*0 = 2

Hallo,

wo hast Du denn diesen Quatsch her?

Die spitzen Klammern stehen für den von der Menge (hier: [mm] M_i) [/mm] erzeugten Raum.

Der erzeugte Raum ist die Menge aller Linearkombinationen, die manaus den erzeugenden Vektoren bilden kann.

Hier also: [mm] =\{r\vektor{1\\0}+s \vektor{1\\1}| r,s\in \IR\}. [/mm]


Der Determinante kannst Du jeweils entnehmen, daß die beiden Vektoren linear unabhängig sind, die [mm] [/mm] also die Dimension 2 haben.

>  
> Also [mm]+[/mm] = 3

Unsinn.

Gruß v. Angela

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]