Teilmengen: infimum und suprem < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es seien M, N c R nicht-leere eilmengen mit M U (vereinigt) N =R, so dass x<y für alle x e M und y e N gilt. Zu zeigen ist, dass dann sup(m) = inf(N) gilt. |
Meine Ausgangsidee war zu zeige, dass sup(m) < oder = inf(N) ist, und dann die Annahme sup(M) < inf(N) zu einem Widerspruch zu führen sodass ich folgern kann: sup(M) = inf (N).
Die ersten Schritte habe ich denke ich, aber ich komme nicht weiter.
Es gilt also alle x e M sind untere Schranken von N, da x in jedem fall kleiner als y. Dies gilt für alle x aus M.
Gleichzeitig sind alle y obere Schranken von M, da gilt: y in jedem fall größer als x.
Also muss es ein bestimmtes x aus M geben, d.h. da x<y , welches gleichzeitig auch das infimum von N darstellt, sodass x< oder = inf(N) und umgekehrt
muss es ein bestimmtes y aus N geben, welches gleichzeitig das supremum von M darstellt , sodass y > oder = sup(M).
Vielleicht liege ich auch komplett falsch in meiner Vorgehensweise...?
Wär lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...!
|
|
| |
|
Hallo,
> Es seien M, N c R nicht-leere eilmengen mit M U (vereinigt)
> N =R, so dass x<y für alle x e M und y e N gilt. Zu zeigen
> ist, dass dann sup(m) = inf(N) gilt.
> Meine Ausgangsidee war zu zeige, dass sup(m) < oder =
> inf(N) ist, und dann die Annahme sup(M) < inf(N) zu einem
> Widerspruch zu führen sodass ich folgern kann: sup(M) =
> inf (N).
>
> Die ersten Schritte habe ich denke ich, aber ich komme
> nicht weiter.
>
> Es gilt also alle x e M sind untere Schranken von N, da x
> in jedem fall kleiner als y. Dies gilt für alle x aus M.
> Gleichzeitig sind alle y obere Schranken von M, da gilt: y
> in jedem fall größer als x.
>
> Also muss es ein bestimmtes x aus M geben, d.h. da x<y ,
> welches gleichzeitig auch das infimum von N darstellt,
> sodass x< oder = inf(N) und umgekehrt
> muss es ein bestimmtes y aus N geben, welches gleichzeitig
> das supremum von M darstellt , sodass y > oder = sup(M).
>
> Vielleicht liege ich auch komplett falsch in meiner
> Vorgehensweise...?
> Wär lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...!
Da ist schon so der eine oder andere richtige Gedanke, aber du begründest eben in Wirklichkeit nichts. Ein Tipp ist aber leicht zu geben: in all deinen Überlegungen hast du bisher
[mm]M \cup N=\IR[/mm]
nicht verwendet! Darin liegt nämlich die eigentliche Begründung versteckt. Sagen dir Dedekindsche Schnitte etwas? ...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Nein, das sagt mir leider überhaupt nix :(
Hmm ehrlich gesagt weiß ich auch nicht, an welcher Stelle ich das mit dem MUN = R einbringen soll....
Ich meine, wenn x aus M < y aus N dann bedeutet das, dass M praktisch dort aufhört, wo N beginnt.
D.d. die Menge M ist zumindest sicher nach oben beschränkt, und N sicher nach unten beschränkt.
M nach oben beschränkt, das in Verbindung mit x<y bedeutet, es gibt ein sup(M) welches nicht unbedingt in M liegen muss, da es ja nicht gleichzeitig ein Maximum sein MUSS (nicht gegeben laut Aufgabenstellung).
Iwie komm ich nicht drauf.. :/
|
|
|
| |
|
Hallo,
überlege dir: gibt es Zahlen, die weder in M noch in N liegen?
Sei nun [mm] \mu=sup(M). [/mm] Nimm an, dass [mm] sup(M)\ne{inf(N)} [/mm] und bringe diese Annahme zum Widerspruch.
Der Sinn dieser Aufgabe ist vermutlich auch der, das Wesen der reellen Zahlen zu erfassen. Und zu dieser Thematik könntest du dir ja einmal die Definition derselben von R. Dedekind irgendwo anschauen. Das Stichwort sind eben die Dedekindschen Schnitte.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:20 Do 19.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien M, N c R nicht-leere eilmengen mit M U (vereinigt)
> N =R, so dass x<y für alle x e M und y e N gilt. Zu zeigen
> ist, dass dann sup(m) = inf(N) gilt.
> Meine Ausgangsidee war zu zeige, dass sup(m) < oder =
> inf(N) ist, und dann die Annahme sup(M) < inf(N) zu einem
> Widerspruch zu führen sodass ich folgern kann: sup(M) =
> inf (N).
gute Idee: Wegen $x < [mm] y\,$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] M$ und alle $y [mm] \in [/mm] N$ folgt auch schon
direkt
[mm] $\sup(M) \;\le\; \inf(N).$
[/mm]
Warum? Nun: Wegen $x < y$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$ und alle $y [mm] \in [/mm] N$ gilt [mm] $\sup(M) \;\le\; [/mm] y$ für
alle $y [mm] \in [/mm] N.$ Daraus folgt aber sofort
[mm] $\sup(M)=\min\{\sup(M)\}=\inf\{\sup(M)\} \;\le\;\inf(N)\,.$
[/mm]
(Das könnte man auch anders herleiten - etwa mit: "Angenommen, es wäre
[mm] $\inf(N) [/mm] < [mm] \sup(M)\,.$ [/mm] Dann...")
Nun nimm' an, es wäre [mm] $\sup(M) [/mm] < [mm] \inf(N)\,.$ [/mm] Betrachte
[mm] $\text{mittlereZahl}:=\frac{\inf(N)+\sup(M)}{2}\,.$
[/mm]
Beweise:
1.)
[mm] $\text{mittlereZahl} \;\red{\;>\;}\; [/mm] m$ für alle $m [mm] \in M\,.$
[/mm]
(Hinweis: Begründe, dass
[mm] $\text{mittlereZahl}-\sup(M) \;\red{\;>\;}\; [/mm] 0$!)
Kann dann denn [mm] $\text{mittlereZahl} \in [/mm] M$ gelten?
2.)
[mm] $\text{mittlereZahl} \;\red{\;<\;}\; [/mm] n$ für alle $n [mm] \in N\,.$
[/mm]
(Hinweis: Begründe, dass
[mm] $\inf(N)-\text{mittlereZahl} \;\red{\;>\;}\; [/mm] 0$!)
Kann dann denn [mm] $\text{mittlereZahl} \in [/mm] N$ gelten?
Sicherlich ist aber [mm] $\text{mittlereZahl} \in \IR=M \cup N\,.$ [/mm] (Hinweis: [mm] $\inf(N)$ [/mm] und [mm] $\sup(M)$ [/mm] sind hier
reelle Zahlen, also weder [mm] $=-\infty$ [/mm] noch [mm] $=\infty$! [/mm] Grund: [mm] $M\,$ [/mm] ist nicht leere
Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] und nach oben beschränkt (warum letzteres? Das hängt
durchaus mit dem Wissen bzgl. [mm] $N\,$ [/mm] zusammen!), und $N [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ist nicht
leer und nach unten beschränkt (warum letzteres?)!)
Wo haben wir nun den Widerspruch? (Schau' Dir ggf. die Definition der
Vereinigung nochmal an!)
P.S. Weiterer Tipp: Das Ganze kann man sich wirklich "sehr sehr gut" am
Zahlenstrahl "veranschaulichen" - auch, wie man vorgeht unter der Annahme,
dass [mm] $\sup(M) [/mm] < [mm] \inf(N)$ [/mm] sei und was dann mit [mm] $\text{mittlereZahl}$ [/mm] gemeint ist, sieht man da
sehr gut.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
nach/bei Satz 3.18
