Teilmengen des Vektorraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man entscheide jeweils, ob die folgenden Teilmengen des [mm] \IR-Vektorraums \IR^\IR \IR-linear [/mm] unabhängig ist:
(a) [mm] \{f | f\in \IR^\IR, \exists t\in \IR \forall x\in \IR xf = x + t \}
[/mm]
(b) [mm] \{f | f\in \IR^\IR, \exists t\in \IN \forall x\in \IR xf = tx \}
[/mm]
(c) [mm] \{f | f\in \IR^\IR, \exists t\in \IZ \forall x\in \IR xf = x^t \} [/mm] |
Kann mir da jemand helfen. Ich verstehe noch nicht mal die Aufgabe. Ich kann nicht sagen, was die Aufgabe von mir will.
Ich brauche dringend Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das ist ein typisches Beispiel für eine Aufgabenstellung, wo man versucht, durch Häufung von mathematischen Symbolen den Lernenden zu erschrecken und ihm einen komplexen Inhalt vorzuspiegeln, obwohl die Sache nur halb so schwer wäre, wenn man sich verständlich ausdrücken würde. Der Professor (?) mag ja eine mathematische Koryphäe sein - das kann ich nicht beurteilen - aber als Pädagoge ist er ... (aus Höflichkeit schweige ich lieber).
Gehen wir zu a).
Ich unterstelle einmal, daß mit [mm]xf[/mm] das gemeint ist, was man gemeinhin als [mm]f(x)[/mm] schreibt (erste Verwirrung).
Dann existiert da noch so ein [mm]t[/mm] mit [mm]f(x) = x+t[/mm] (zweite Verwirrung). Hierbei handelt es sich also um nichts anderes als eine Funktionenschar [mm](f_t)_{t \in \mathbb{R}}[/mm] mit
[mm]f_t (x) = x+t \, , \ \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Und diese Funktionen sind die zu untersuchenden Objekte der Aufgabe a).
Bestehen jetzt lineare Abhängigkeiten zwischen diesen Funktionen? Kann man also die Nullfunktion durch sie linear kombinieren? Versuche einmal [mm] \lambda, \mu, \nu \in \mathbb{R} [/mm] nichttrivial so zu bestimmen, daß
[mm]\lambda f_3 + \mu f_2 + \nu f_0 = 0[/mm]
gilt. Du mußt nur dafür sorgen, daß, wenn man die Funktionsterme einsetzt:
[mm]\lambda f_3 (x) + \mu f_2 (x) + \nu f_0 (x) = 0[/mm]
sich die [mm]x[/mm]-Glieder gegenseitig wegheben und auch noch die Konstante verschwindet. Versuche einmal, das durch Probieren herauszufinden. Es geht mit ganzzahligen [mm]\lambda, \mu, \nu[/mm], von denen keines einen Betrag über 3 hat.
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Vielen Dank für deine Antwort. Ich stimme dir in deinem ersten Absatz komplett zu.
Bei dem Rest bin ich mir nicht zu sicher.
Es heißt doch es gibt ein t, so dass für alle x gilt : xf = x+t.
Das können doch keine Funktionen sein, denn es heißt doch es existiert, also eindeutig?!?
Kannst du das vielleicht noch mal in deine Überlegungen einfügen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 So 15.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Doch, doch, das stimmt schon alles so, was Leopold sagt (übrigens auch die Ausführungen zur Pädagogik  ).
$f [mm] \in \IR^{\IR}$ [/mm] bedeutet: $f$ ist eine Funktion von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$. [/mm] Und hier werden solche Funktionen betrachtet, die sich in der Form
$f(x) = x+t$
für ein $t [mm] \in \IR$ [/mm] darstellen lassen. (Das bedeutet: Es gibt ein $t [mm] \in \IR$, [/mm] so dass...)
Nun gilt aber:
$(-2) [mm] \cdot [/mm] (x+3) + 3 [mm] \cdot [/mm] (x+2) + (-1) [mm] \cdot [/mm] x=0$
für alle $x [mm] \in \IR$, [/mm] also:
$(-2) [mm] \cdot f_3 [/mm] + 3 [mm] \cdot f_2 [/mm] + (-1) [mm] \cdot f_0=0$
[/mm]
in der Notation von Leopold, d.h. [mm] $f_3$, $f_2$ [/mm] und [mm] $f_0$ [/mm] sind linear abhängig.
Liebe Grüße
Stefan
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Übrigens ist jede zweielementige Teilmenge in a) linear unabhängig. Du kannst ja einmal versuchen, das nachzuweisen. Insofern ist das Beispiel mit den drei linear abhängigen Funktionen bestmöglich.
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Das bedeutet doch jetzt, dass das (a) linear abhängig ist, somit ist die Aussage mit einem Gegenbeispiel wiederlegt, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 15.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja genau !
bei der (b) gibt es übrigens noch einfachere Gegenbeispiele - die wirst du selbst finden..
und bei der (c) achte darauf, dass t eine ganze Zahl sein soll - wlecher art sehen also unterschiedliche Funktionen dieser Schar aus?
kann man den Unterschied mit Elementen aus [mm] $\IR$ [/mm] beheben?(multiplikativ und dann summiert..)
viele Grüße
DaMenge
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Bei (b) ist es auch nicht unwichtig, ob 0 in der Vorlesung zu [mm]\mathbb{N}[/mm] gerechnet wird oder nicht. Das wird ja nicht einheitlich gehandhabt. Und bei (c) ist auch noch ein Wurm drin. Es heißt ja ausdrücklich:
[mm]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/mm]
Das unterstellt, daß die Funktion auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] definiert ist. Was war aber noch einmal [mm]0^{-3}[/mm]? Grübel, grübel, ...
Da kommt mir noch ein Gedanke, ein zugegebenermaßen bösartiger. Vielleicht ist der Professor eher ein kleines Licht und versucht, seine Bedeutung durch exzessiven Gebrauch logischer Symbole in seinen Aufgaben aufzuwerten. Und vergißt dabei, daß man nicht durch 0 dividieren darf. Na so was! (Oder hast du die Aufgabe nicht richtig abgeschrieben?)
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Also die Aufgabe ist richtig abgeschrieben von dem Aufgabenzettel. Und 0 gehört laut Vorlesung nicht zu [mm] \IN.
[/mm]
Wie geh ich denn bei (b) und (c) nun vor?
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Bei b) geht es um [mm](g_t)_{t \in \mathbb{N}}[/mm] mit
[mm]g_t (x) = t \, x \, , \ \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Nimm z.B. in meiner Bezeichnung [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm]. Wie müßtest du die Skalare [mm]\lambda, \mu[/mm] etwa wählen, damit
[mm]\lambda g_1 + \mu g_2 = 0[/mm]
gilt? Du mußt doch nur dafür sorgen, daß sich die [mm]x[/mm] gegenseitig wegheben.
Bei c) wirst du mit dieser Methode allerdings kaum Erfolg haben. Denn jetzt geht es um die Potenzfunktionen [mm](h_t)_{t \in \mathbb{N}}[/mm] mit
[mm]h_t (x) = x^t \, , \ \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Das [mm]\mathbb{Z}[/mm] habe ich durch das mir sinnvoller erscheinende [mm]\mathbb{N}[/mm] ersetzt. Und jetzt überlege: Können sich verschiedene Potenzen gegenseitig wegheben? Das lernt man ja schon in der Unterstufe eines Gymnasiums, daß man bei Termen wie
[mm]3x^8 - 2x^4 + \frac{1}{3} x[/mm]
die Potenzen nicht zusammenfassen darf. Um das hieb- und stichfest zu machen, kannst du den Weg der Algebra einschlagen (Stichwort: Vandermondesche Determinante). Besser aber ist es hier, auf analytische Eigenschaften zurückzugreifen, denn wir sind ja bei reellen Funktionen. Jetzt kann aber ein Polynom wie das obige niemals die Nullfunktion darstellen, wie etwa das bekannte Verhalten für [mm]x \to \pm \infty[/mm] zeigt, das ja allein durch die höchste Potenz bestimmt wird.
Jetzt versuche, ob du damit alleine zurechtkommst.
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Hi. Also Aufgabenteil (a) und (b) habe ich nun gelöst. Doch nun ist mein Problem der Aufgabenteil (c). Also ich weiß nur, dass diese Teilmenge linear unabhängig ist.
Kann mir da bitte noch einer helfen? Das ist ganz wichtig!!!
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Hallo zusammen,
hab nur die letzte Frage zu (c) gelesen, deswegen sorry, wenn was kommt, was Ihr schon mal im Strang geschrieben habt.
Also
[mm] \{f\colon\IR\to\IR \: |\: \exists t\in\IZ\:\: \forall x\:\: f(x)=x^t\}
[/mm]
Beh. Diese Menge ist lin. unabh.
Angenommen, man koennte eine nichttriviale Lin.Komb. zu 0 bilden, d.h.
es gaebe [mm] t_{-k\} [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] t_0=0 [/mm] < [mm] t_1 <\ldots [/mm] < [mm] t_k [/mm] in [mm] \IZ [/mm] und
Koeff. [mm] a_{-k},\ldots a_{k}, [/mm] nicht alle gleich 0, so dass
[mm] f(x)=a_{-k}\cdot x^{t_{-k}}+\ldots a_k\cdot x^{t_k} [/mm] = 0 fuer alle x.
Nehmen wir T maximal in [mm] \{-k,\ldots , k\} [/mm] so, dass [mm] a_T\neq [/mm] 0.
Dann sollte es durch Einsetzen eines hinreichend grossen x doch gelingen,
einen Widerspruch zu erzeugen, naemlich x so gross, dass der Term [mm] a_Tx^T [/mm]
die anderen Terme (dem Betrage nach) dominiert und somit [mm] f(x)\neq [/mm] 0 folgt.
Viele Gruesse,
Mathias
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