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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Fr 13.09.2013 | | Autor: | pillango |
| Aufgabe | | $ X $ ist eine Menge mit den Elementen $ [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X $, und $ F $ ist ein Feld. Ist $ U = [mm] \{f \in \IR^X : f(x_1) = f(x_2)^2\} [/mm] $ eine Teilmenge von [mm] \IR^X? [/mm] |
Ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und bevor ich mir überhaupt über die Aufgabe Gedanken machen kann, habe ich mich gefragt ob $ [mm] f(x_2)^2 [/mm] $ bedeutet, dass die ganze Funktion hoch zwei genommen wird (also $ [mm] (f(x_2))^2 [/mm] $) oder nur $ [mm] x_2 [/mm] $?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Fr 13.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pillango und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> [mm]X[/mm] ist eine Menge mit den Elementen [mm]x_1,x_2 \in X [/mm], und [mm]F[/mm]
> ist ein Feld. Ist [mm]U = \{f \in \IR^X : f(x_1) = f(x_2)^2\}[/mm]
> eine Teilmenge von [mm]\IR^X?[/mm]
Lautet die Aufgabenstellung wirklich so? Da wird ein Feld $F$ eingeführt, das dann im Folgenden gar nicht auftritt...
(Ich habe übrigens keine Ahnung, was ein Feld ist. Aber da in der Frage ja das Feld gar nicht vorkommt... Oder hast du die Aufgabe aus dem Englischen übersetzt? Das Englische Wort "field" heißt auf deutsch "Körper".)
> Ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und bevor ich mir
> überhaupt über die Aufgabe Gedanken machen kann, habe ich
> mich gefragt ob [mm]f(x_2)^2[/mm] bedeutet, dass die ganze Funktion
> hoch zwei genommen wird (also [mm](f(x_2))^2 [/mm]) oder nur [mm]x_2 [/mm]?
Ersteres. Sonst müsste das "hoch 2" innerhalb der Klammern stehen.
Außerdem kann man beliebige Elemente einer Menge $X$ gar nicht "hoch zwei nehmen": Denke etwa an die Menge
[mm] $X=\{\text{männlich},\text{weiblich}\}$
[/mm]
der Geschlechter, [mm] $x_1=\text{männlich}$ [/mm] und [mm] $x_2=\text{weiblich}$. [/mm] Da ergibt [mm] $(x_2)^2$ [/mm] überhaupt keinen Sinn.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Fr 13.09.2013 | | Autor: | pillango |
Vielen Dank für die schnelle Antwort, Tobias!
Stimmt das $ F $ ist mir von der Aufgabe dadrüber reingerutscht (und ich meine natürlich auch einen Körper, bin nur gerade am jonglieren mit drei Sprachen, da kommt man mal durcheinander :)).
Dann kommt jetzt noch meine überlegung zu der Aufgabe: Ich muss ja beweisen, dass $ U $ einen Nullvektor hat, dass man zwei Elemente aus $ U $ addieren kann und wieder ein Element in $ U $ hat und dass ein Element aus $ U $ multipliziert mit einem Skalar, auch ein Element in $ U $ ist.
Bei der Addition habe ich dann ein Problem mit dem $ [mm] f(x_2)^2 [/mm] $, weil wenn man annimmt $ f,g [mm] \in \IR^X [/mm] $ dann hätte man durch addition $ [mm] (f+g)(x_1) [/mm] = [mm] (f+g)(x_2)^2 [/mm] $ und da das nicht das gleiche ist wie $ [mm] f(x_1)+g(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)^2+g(x_2)^2 [/mm] $ ist $ U $ keine Teilmenge von $ X $. Ich hoffe meine Erklärung ist nicht all zu wirr. Kann mir jemand sagen, ob das stimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Fr 13.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Anscheinend sollst du also nicht zeigen, dass $U$ eine Teilmenge der Menge [mm] $\IR^X$ [/mm] ist, sondern prüfen, ob $U$ ein Untervektorraum des Vektorraumes [mm] $\IR^X$ [/mm] ist.
> Dann kommt jetzt noch meine überlegung zu der Aufgabe: Ich
> muss ja beweisen, dass [mm]U[/mm] einen Nullvektor hat,
Du meinst vermutlich: "dass der Nullvektor von [mm] $\IR^X$ [/mm] Element von $U$ ist".
> dass man
> zwei Elemente aus [mm]U[/mm] addieren kann und wieder ein Element in
> [mm]U[/mm] hat und dass ein Element aus [mm]U[/mm] multipliziert mit einem
> Skalar, auch ein Element in [mm]U[/mm] ist.
Du beschreibst hier, was zu zeigen wäre, wenn du $U$ als Untervektorraum von [mm] $\IR^X$ [/mm] nachweisen wolltest. $U$ ist aber kein Untervektorraum von [mm] $\IR^X$.
[/mm]
> Bei der Addition habe ich dann ein Problem mit dem [mm]f(x_2)^2 [/mm],
Als Idee stimmt das.
> weil wenn man annimmt [mm]f,g \in \IR^X[/mm]
[mm] $f,g\in [/mm] U$ meinst du vermutlich.
> dann hätte man
, wenn $U$ ein Untervektorraum von [mm] $\IR^X$ [/mm] wäre,
> durch
> addition [mm](f+g)(x_1) = (f+g)(x_2)^2[/mm]
> und da das nicht das
> gleiche ist wie [mm]f(x_1)+g(x_1) = f(x_2)^2+g(x_2)^2[/mm]
Hier kann ich nicht mehr folgen. Was meinst du damit, dass zwei Gleichungen "das gleiche sind"?
> ist [mm]U[/mm]
> keine Teilmenge von [mm]X [/mm].
Ich kann nicht wiederum nicht folgen: Warum ist $U$ keine Teilmenge von $X$? Bzw. viel wichtiger: Warum interessiert dich die Frage, ob $U$ eine Teilmenge von $X$ ist? Eine Teilmenge von [mm] $\IR^X$ [/mm] ist $U$ jedenfalls.
Du möchtest also zeigen, dass $U$ kein Untervektorraum von [mm] $\IR^X$ [/mm] ist.
Dazu möchtest du zeigen, dass die Untervektorraum-Bedingung
[mm] $f+g\in [/mm] U$ für alle [mm] $f,g\in [/mm] U$
verletzt ist.
D.h. du musst zeigen, dass nicht für alle [mm] $f,g\in [/mm] U$ die Aussage [mm] $f+g\in [/mm] U$ stimmt.
Mit anderen Worten: Zu zeigen ist, dass für mindestens eine Wahl von [mm] $f,g\in [/mm] U$ die Aussage [mm] $f+g\in [/mm] U$ nicht gilt.
Finde also konkrete Abbildungen [mm] $f,g\in [/mm] U$ mit [mm] $f+g\notin [/mm] U$.
Tipp: [mm] $f\in [/mm] U$ gilt z.B. für
[mm] $f\colon X\to\IR,\quad [/mm] f(x)=1$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$.
Viel Erfolg!
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