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Teilmenge nicht zs.hängend: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 So 26.04.2009
Autor: SusanneK

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Teilmenge [mm] M:=\{\vektor{x\\y} \in \IR^2 | \parallel \vektor{x\\y} \parallel_2 \not=1 \} [/mm] von [mm] (\IR^2,d_2) [/mm] nicht zusammenhängend ist.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hallo,
ist meine Idee richtig:
Sei [mm] M_1:\{ \vektor{0\\0} \}[/mm]
Sei [mm] M_2:\{ \vektor{x\\y} \in \IR^2 \backslash \{\vektor{0\\0},\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\}[/mm]
?
..oder was habe ich ansonsten falsch gemacht ?

Danke, Susanne.

        
Bezug
Teilmenge nicht zs.hängend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 So 26.04.2009
Autor: rainerS

Hallo Susanne!

> Zeigen Sie, dass die Teilmenge [mm]M:=\{\vektor{x\\y} \in \IR^2 | \parallel \vektor{x\\y} \parallel_2 \not=1 \}[/mm]
> von [mm](\IR^2,d_2)[/mm] nicht zusammenhängend ist.
>  Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  
> Hallo,
>  ist meine Idee richtig:
> Sei [mm]M_1:\{ \vektor{0\\0} \}[/mm]
>  Sei [mm]M_2:\{ \vektor{x\\y} \in \IR^2 \backslash \{\vektor{0\\0},\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\}[/mm]
> ?
>  ..oder was habe ich ansonsten falsch gemacht ?

Nein, deine Vorstellung von der Menge M ist falsch. Es geht doch um alle Punkte im [mm] $\IR^2$, [/mm] deren Norm nicht 1 ist. Folglich ist diese Menge gerade der [mm] $\IR^2$, [/mm] aus dem du alle Punkte mit Norm 1 herausnimmst.

So, und was sind alle Punkte mit Norm 1? Welche Punkte des [mm] $\IR^2$ [/mm] haben den Abstand 1 vom Ursprung? Wenn du dir das vorstellen kannst, siehst du auch, warum die Menge M nicht zusammenhängend ist. (Und die Vorstellung ist der halbe Weg zum Beweis.)

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                
Bezug
Teilmenge nicht zs.hängend: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 So 26.04.2009
Autor: SusanneK

Hallo Rainer,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe !

> Nein, deine Vorstellung von der Menge M ist falsch. Es geht
> doch um alle Punkte im [mm]\IR^2[/mm], deren Norm nicht 1 ist.
> Folglich ist diese Menge gerade der [mm]\IR^2[/mm], aus dem du alle
> Punkte mit Norm 1 herausnimmst.
>
> So, und was sind alle Punkte mit Norm 1? Welche Punkte des
> [mm]\IR^2[/mm] haben den Abstand 1 vom Ursprung? Wenn du dir das
> vorstellen kannst, siehst du auch, warum die Menge M nicht
> zusammenhängend ist. (Und die Vorstellung ist der halbe Weg
> zum Beweis.)

Achso, das ist dann der Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt.
Die zwei Mengen sind die, die innerhalb und außerhalb des Kreises liegen und der Kreis gehört nicht dazu.

Stimmt das jetzt ?

Danke, Susanne.

Bezug
                        
Bezug
Teilmenge nicht zs.hängend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 So 26.04.2009
Autor: rainerS

Hallo Susanne!

>  Achso, das ist dann der Kreis mit Radius 1 um den
> Nullpunkt.

[ok]

>  Die zwei Mengen sind die, die innerhalb und außerhalb des
> Kreises liegen und der Kreis gehört nicht dazu.
>  
> Stimmt das jetzt ?

Ja, das ist richtig.

Anschaulich ist es ja klar. Formal musst du dir noch überlegen, dass M aus zwei disjunkten offenen Teilmengen besteht.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Teilmenge nicht zs.hängend: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:39 So 26.04.2009
Autor: SusanneK

Ok, vielen Dank und liebe Grüsse, Susanne.

Bezug
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