matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-InduktionTeilmenge endlich
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Teilmenge endlich
Teilmenge endlich < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Teilmenge endlich: Problem, brauche Idee, Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Do 23.11.2006
Autor: BettiBoo

Aufgabe
Eine Menge M heißt bekanntlich endlich, wenn M leer ist oder wenn es ein n [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass M gleichmächtig zu der Menge $ [mm] \{k | k \in \IN, 1 \le k \le n \} [/mm] $ ist: Man zeige: Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich.

Also die Induktion hab ich glaub ich schon, nur irgendwie habe ich keine Idee wie ich die Induktionsvoraussetzung schreiben kann....

IA: (n = 0) [mm] :\Rightarrow [/mm] A = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] Die einzige Teilmenge von M ist leer, also endlich.

IV: ?

IS: (n [mm] \to [/mm] n+1): Sei M = n + 1 und A [mm] \subset [/mm] M. Der Fall M = A ist trivial. Sonst gibt es ein a [mm] \in [/mm] A, was nicht in M ist. Dann ist A [mm] \subset [/mm] M*:= M ohne {a}, und M* = n. Daher muss A endlich sein.

Wäre auch dankbar über Feedback was diesen Beweis angeht. Vielen lieben Dank BettiBoo





Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Teilmenge endlich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 So 26.11.2006
Autor: otto.euler

IV: Jede endliche Menge mit n Elementen hat nur endliche Teilmengen.

IS: Die Mächtigkeit von M sei n+1. Die Fälle A=M und [mm] A=\emptyset [/mm] sind klar. Sei also A eine echte nichtleere Teilmenge von M. Dann existiert ein [mm] a\inM\A=M^*. [/mm]
Zeige: M^* hat die Mächtigkeit n.
Zeige: [mm] A\subseteqM^* [/mm]

Dann ist A eine Teilmenge einer endlichen Menge mit n Elementen und nach Induktionsvoraussetzung selber endlich. qed

Bezug
                
Bezug
Teilmenge endlich: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 So 26.11.2006
Autor: BettiBoo

Ich verstehe das nicht ganz mit dem A dot bzw. M dot. Ist das dasselbe wie A* oder M*?

Muss ich die Mächtigkeit mit card (M) zeigen?

Was genau meinst du mit "zeige A dot"?

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Teilmenge endlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Sa 02.12.2006
Autor: otto.euler

Der Formeleditor hat wohl was durcheinander gebracht.

Sei A in M ein echte (d.h. [mm] A\not=M) [/mm] und nichtleere Teilmenge von M. M habe Mächtigkeit (n+1).

Dann gibt es ein [mm] m\inM, [/mm] für das gilt: [mm] m\not\inA. [/mm]

Betrachte nun die Menge M* = M ohne m.

Zeige, dass M* die Mächtigkeit n hat.

Zeige, dass [mm] A\subsetM* [/mm] gilt.

Dann sagt die Induktionsvoraussetzung, dass die Teilmenge A der endlichen Menge M* von der Mächtigkeit n ebenfalls eine endliche Menge ist. Und genau das sollte für den Induktionsschluss gezeigt werden!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]