Teilformeln, rekursiv Aufbau < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:17 So 17.04.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ein Wort w ist eine (echte) Teilformel der Formel [mm] \phi, [/mm] wenn w eine Formel ist und es Wörter [mm] w_1, w_2 [/mm] gibt mit [mm] w_1 [/mm] w [mm] w_2 [/mm] = [mm] \phi [/mm] (und [mm] w_1, w_2 [/mm] sind nicht beide leer). Zeigen Sie, dass alle teilformeln von [mm] \phi [/mm] im rekursiven Aufbau von [mm] \phi [/mm] vorkommen müssen. Das heisst:
(1) Eine primformel hat keine echte Teilformeln.
(2) Eine echte Teilformel von [mm] \neg \psi [/mm] ist eine Teilformel von [mm] \psi.
[/mm]
(3) Eine echte Teilformel von [mm] (\psi_1 \wedge \psi_2) [/mm] ist eine Teilformel von [mm] \psi_1 [/mm] oder von [mm] \psi_2.
[/mm]
(4) Eine echte Teilformel von [mm] \exists [/mm] x [mm] \psi [/mm] ist eine Teilformel von [mm] \psi. [/mm] |
Hallo zusammen,
Logik ist für mich noch ein hartes Pflaster ;)
Würde mich über Hilfe sehr freuen.
Beweis:
(2)
Ist [mm] \neg \psi= w_1 [/mm] w [mm] w_2
[/mm]
-)Ist [mm] w_1 [/mm] = [mm] \neg, [/mm] so wäre w echtes Anfangsstück von [mm] \psi. [/mm] Widerspruch zu Lemma in Vorlesung.
-) Ist [mm] w_1 [/mm] leer so folgt [mm] \neg \psi= [/mm] w [mm] w_2
[/mm]
So wäre w echtes Anfangsstück von [mm] \neg \psi. [/mm] Widerspruch zu Lemma in Vorlesung.
So folgt w ist Teilformel von [mm] \psi.
[/mm]
(4)
Geht analog zu Fall (2)
(3)
Ist [mm] (\psi_1 \wedge \psi_2)= w_1 [/mm] w [mm] w_2
[/mm]
-) Enthält w das mittlere [mm] \wedge [/mm] nicht
so ist w teilformel von [mm] \psi_1 [/mm] oder von [mm] \psi_2
[/mm]
-) Enthält w das mittlere [mm] \wedge
[/mm]
[mm] w=(a_1 \wedge a_2) [/mm] mit [mm] a_1, a_2 [/mm] Formeln
[mm] a_2 [/mm] kann kein Anfangsstück von [mm] \psi_2 [/mm] sein sowie [mm] \psi_2 [/mm] kein Anfangsstück von [mm] a_2 [/mm] sein. So muss [mm] \psi_2=a_2 [/mm] sein.
D.h. [mm] w=(a_1 \wedge \psi_2)
[/mm]
Da nach Definition der Formeln die Klammer am Ende de Formel am Anfangs aufgehen muss folgt [mm] w=(\psi_1 \wedge \psi_2)
[/mm]
Bei Fall (3) bin ich mir aber allgemein sehr unsicher.
(1)
-)Ist [mm] \phi= t_1 \doteq t_2 [/mm] mit [mm] t_1, t_2 [/mm] Terme
Ist [mm] t_1 \doteq t_2= w_1 [/mm] w [mm] w_2
[/mm]
Fall 1: w enthält [mm] \doteq [/mm] in der Mitte
w= [mm] s_1 \doteq s_2 [/mm] mit [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] Terme. So wäre [mm] s_2 [/mm] ein echter Anfangsterm von [mm] t_2. [/mm] Widerspruch also [mm] s_2=t_2.
[/mm]
So ist [mm] w=s_1 \doteq t_2. [/mm]
Frage: Nun stecke ich warum [mm] s_1=t_1 [/mm] sein soll???
Fall2: w enthält [mm] \doteq [/mm] nicht.
Frage: Hier stecke ich ebenfalls.
-) Ist [mm] \phi=R t_1..t_n [/mm] mit [mm] t_1,..,t_n [/mm] Terme und R ein n stelliges Relationssymbol
R [mm] t_1..t_n =w_1 [/mm] w [mm] w_2
[/mm]
Fall 1: [mm] w_1 [/mm] ist leer
So ist w ein echtes Anfangsstück von der Formel R [mm] t_1..t_n. [/mm] Also widerspruch.
Fall 2: [mm] w_2 [/mm] ist leer
Frage : Hier stecke ich wieder...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Mo 18.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Ein Wort w ist eine (echte) Teilformel der Formel [mm]\phi,[/mm]
> wenn w eine Formel ist und es Wörter [mm]w_1, w_2[/mm] gibt mit [mm]w_1[/mm]
> w [mm]w_2[/mm] = [mm]\phi[/mm] (und [mm]w_1, w_2[/mm] sind nicht beide leer).
Dies ist für meinen Geschmack eine ungewöhnliche Definition einer Teilformel. Ich hätte die beabsichtigte Definition rekursiv getroffen.
Anscheinend hat der Autor unbeabsichtigterweise so nicht das mit der Definition erfasst, was er eigentlich definieren wollte...
> Zeigen
> Sie, dass alle teilformeln von [mm]\phi[/mm] im rekursiven Aufbau
> von [mm]\phi[/mm] vorkommen müssen. Das heisst:
> (1) Eine primformel hat keine echte Teilformeln.
Hier irrt der Autor, wenn man seine Definition von Teilformeln (und die Definition von L-Formeln aus ![[]](/images/popup.gif) http://home.mathematik.uni-freiburg.de/ziegler/skripte/logik.pdf) zugrunde legt:
Sei etwa $S$ ein einstelliges Relationssymbol und x eine Variable. Dann ist [mm] $x\doteq [/mm] x$ (im Sinne obiger missglückter Definition) eine echte Teilformel der Primformel [mm] $Sx\doteq [/mm] x$.
Du bist also zurecht an dieser Stelle nicht weiter gekommen.
Mit den weiteren Aussagen 2 bis 4 möchte ich mich gar nicht auseinandersetzen, da ich sie für uninteressant halte.
Ich lasse die Frage daher als nur teilweise beantwortet markiert.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:01 Mo 18.04.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Nun kommt aber die naheliegende Frage ob es nur bei der Primformel [mm] t_1 \doteq t_2 [/mm] für [mm] t_1, t_2 [/mm] Terme oder auch bei [mm] Rt_1...t_r [/mm] mit [mm] t_1,..,t_r [/mm] Terme schief geht?
Hast du die rekursive Definition irgendwo?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Di 19.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Hast du die rekursive Definition irgendwo?
Ich schlage vor:
Wir definieren die Menge [mm] $T(\varphi)$ [/mm] der echten Teilformeln einer L-Formel [mm] $\varphi$ [/mm] durch:
[mm] $T(\varphi)=\emptyset$ [/mm] im Falle [mm] $\varphi$ [/mm] eine Primformel
[mm] $T(\neg\psi)=T(\psi)\cup\{\psi\}$
[/mm]
[mm] $T((\psi_1\wedge\psi_2))=T(\psi_1)\cup T(\psi_2)\cup\{\psi_1,\psi_2\}$
[/mm]
[mm] $T(\exists x\psi)=T(\psi)\cup\{\psi\}$.
[/mm]
Der Begriff der (nicht notwendig echten) Teilformel lässt sich dann auf den Begriff der echten Teilformel zurückführen oder in ähnlicher Weise rekursiv definieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 20.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 19.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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