Teilerfremdheit bei Polynomen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Do 07.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo,
bei Königsberger "Analysis 1" heißen f und g teilerfremd, wenn es kein Polynom eines Grades >= 1 gibt, das sowohl f als auch g teilt. f(x) = 10x + 5 und g(x)= 5x wären demnach teilerfremd.
An anderer Stelle habe ich die Aussage gefunden, daß 2 Polynome teilerfremd seien, wenn 1 ihr größter gemeinsamer Teiler ist. Der größte gem.Teiler wiederum ist dort definiert als der gemeinsame Teiler, der alle anderen gemeinsamen Teiler enthält. Im Beispiel wäre dies 5, also ungleich 1 also wären f und g nicht teilerfremd. Mir scheint die 2. Version sinnvoller.
alle Teiler von f(x): 1,5,2x+1, 10x+5
alle Teiler von g(x): 1,5,x,5x
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Do 07.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> bei Königsberger "Analysis 1" heißen f und g teilerfremd,
> wenn es kein Polynom eines Grades >= 1 gibt, das sowohl f
> als auch g teilt. f(x) = 10x + 5 und g(x)= 5x wären
> demnach teilerfremd.
> An anderer Stelle habe ich die Aussage gefunden, daß 2
> Polynome teilerfremd seien, wenn 1 ihr größter gemeinsamer
> Teiler ist. Der größte gem.Teiler wiederum ist dort
> definiert als der gemeinsame Teiler, der alle anderen
> gemeinsamen Teiler enthält. Im Beispiel wäre dies 5, also
> ungleich 1 also wären f und g nicht teilerfremd. Mir
> scheint die 2. Version sinnvoller.
> alle Teiler von f(x): 1,5,2x+1, 10x+5
> alle Teiler von g(x): 1,5,x,5x
>
Die gemeinsamen Teiler von f un g sind also 1 und 5. Das sind aber Polynome vom Grad 0 !!!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Do 07.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Fred,
hast Du da was übersehen?, Deine Antwort war mir auch bekannt, darauf beruht ja gerade der Widerspruch!
Also noch mal ausführlich: weil das teilende Polynom mit dem höchsten Grad die Zahl 5 mit Grad 0 ist, wäre nach Königsberger f und g teilerfremd und nach der unteren Argumentation nicht teilerfremd, da 5 der größte gemeinsame Teiler ist und nicht =1 ist
oder klemmt es bei mir gerade furchtbar !?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Do 07.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Hallo Fred,
> hast Du da was übersehen?, Deine Antwort war mir auch
> bekannt, darauf beruht ja gerade der Widerspruch!
Die Begründung ist in der Tat zu knapp und irreführend, aber hier ist nur ein Scheinwiderspruch.
> Also noch mal ausführlich: weil das teilende Polynom mit
> dem höchsten Grad die Zahl 5 mit Grad 0 ist, wäre nach
> Königsberger f und g teilerfremd und nach der unteren
> Argumentation nicht teilerfremd, da 5 der größte gemeinsame
> Teiler ist und nicht =1 ist
> oder klemmt es bei mir gerade furchtbar !?!
Man muss nunmal erstmal defineiren, was denn teilen nun genau ist - und wir sind hier nichtg mehr in den ganzen Zahlen. Üblicherweise ist in einem Ring R ein Teiler t von einem Element e, wenn es ein r gibt mit [m]r*t=e[/m], in Zeichen [m]t|e[/m]. Ein gemeinsamer Teiler von a und b ist ein t mit [m]t|a[/m] und [m]t|b[/m]. Ein größter gemeinsamer Teiler von aund b ist ein Teiler ggt von a und b, so dass alle anderen gemeinsamen Teiler t den ggt teilen, also [m]t|ggt[/m]. Und: dieser ggt ist nicht eindeutig, denn mit einem beliebigen ggt ist auch jedes [m]e*ggt[/m] ein ggt, wobei e eine Einheit ist.
Jetzt in unserem konkreten Fall sind die Einheiten des Polynomrings über einem Körper genau die Elemente vom Grad 0, die ungleich 0 sind. Also sind 5 und 1 Einheiten - 5 teilt 1 in [m]\IR[/m]! Es sind sowohl 5 als auch 1 (als auch [m]\sqrt{2}[/m]) ggt deiner Polynome. Könmigsberger verkürzt es eben und stellt nur den Sachverhalt für Polynome über Körpern dar - und das macht er auch richtig.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Fr 08.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo SEecki,
vielen Dank, jetzt ist es mir einigermaßen klar - und auch, daß ich von Gruppentheorie keinen blassen Schimmer habe!
Grüße
Antonio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Fr 08.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> vielen Dank, jetzt ist es mir einigermaßen klar - und
> auch, daß ich von Gruppentheorie keinen blassen Schimmer
> habe!
Das ist auch Ringtheorie ...
SEcki
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