Teiler von n gegen unendlich < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wieviele Teiler hat n, für n [mm] \to \infty [/mm] |
Hi zusammen!
Ich habe die oben genannte Aufgabe. Ich hoffe die Fragestellung ist soweit klar: ich soll einfach die Anzahl der Teiler von n (wenn dieses nach unendlich strebt) approximieren.
Eigentlich reicht es mir schon, wenn ich weiss, dass es beschränkt ist. Ist es doch, oder? :s
Also ich habe für die Anzahl der Teiler folgende Definition:
Anzahl Teiler von n= [mm] \sum_{d \in \IN, d|n}1
[/mm]
Dazu haben wir auch noch einen Satz der die Anzahl der Teiler von n berechnet durch [mm] \produkt_{p \in \IP} (1+ord_{p}n)
[/mm]
und [mm] ord_{p}n [/mm] ist die grösste Zahl v, so dass [mm] p^{v}|n
[/mm]
Ok genug der Definitionen und Sätze.. =) Nun mein Problem, damit ich in meiner Aufgabe weiterkomme, sollte die Anzahl der Teiler beschränkt sein. Nur eben bin ich mir nicht mal sicher ob dies so ist, geschweige denn wie ich das beweisen könnte..
Ich wäre sehr froh um etwas Hilfe..
Vielen lieben Dank
Grenzwert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Di 26.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Anzahl der Primzahlen ist nicht beschränkt!
kannst du daraus was über die Beschränktheit der Teiler von n sagen?
Gruss leduart
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Guten Abend :)
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.. Die Anzahl der Primzahlen ist nicht beschränkt, und es gibt immer eine Primfaktorzerlegung.
Das heisst die Ordnung [mm] ord_{p}n [/mm] ist endlich..
Ich habe also ein unendliches Produkt, mit endlichen Faktoren und ganz vielen 1.. hmm? Bin ich da richtig?
Also es ist mir jetzt schon mal klar, dass die Teiler beschränkt sind, nur sonst bin ich noch etwas am schwimmen, wie man sieht.. :p
Wäre dankbar um weitere Tipps..
Grenzwert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Di 26.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
betrachte doch mal ein paar Beispiele wie :
[mm] a_i=2^i \to\infty
[/mm]
[mm] b_1=1 [/mm] , [mm] b_i=p\in\IP [/mm] mit [mm] p>b_{i-1} [/mm] für [mm] i\ge [/mm] 2
dafür gilt [mm] b_i \to \infty
[/mm]
[mm] c_i=\produkt_{j=1}^ib_j \to \infty
[/mm]
Ciao.
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Hi!
Das versteh ich jetzt nicht ganz..
Also die [mm] a_{i} [/mm] sind für i [mm] \in \IN [/mm] streng monoton wachsend und unbeschränkt. Das versteh ich.. Und i ist die Anzahl Teiler, da ja sicherlich [mm] 2,2^{2},2^{3},...,2^{i} [/mm] Teiler von [mm] a_{i} [/mm] sind.
Bei den [mm] b_{i} [/mm] haben wir alle Primzahlen geordnet. Die Primzahlen sind unbeschränkt, also gehen die [mm] b_{i} [/mm] nach unendlich. Da Primzahlen ja nach Definition nur durch 1 und sich selber teilbar sind haben die [mm] b_{i} [/mm] jeweils 2 Teiler.
Bei den [mm] c_{i} [/mm] ist es dann das Produkt der Primzahlen, da die Primzahlen selbst schon unbeschränkt sind, ist ihr Produkt sicherlich auch unbeschränkt. Ok..
Nur ist mir noch nicht ganz klar, wie ich nun weiterkomme mit meinem Teiler-Problem..
also n kann ich zerlegen in Primfaktoren
[mm] n=p_{1}^{a_{1}}*p_{2}^{a_{2}}*...*p_{i}^{a_{i}}
[/mm]
da eine Primfaktorzerlegung existiert.
die [mm] a_{i} \in \IN [/mm] sind beschränkt (?) -> ist das richtig und gibts eine Begründung dafür?
also 0 [mm] \le a_{1} \ge k_{1}, [/mm] 0 [mm] \le a_{2} \ge k_{2}, [/mm] ....
also Teiler von [mm] n=(k_{1}+1)(k_{2}+2)...
[/mm]
wobei ich doch wieder gleich weit bin: ein unendliches produkt mit endlichen Faktoren und vielen Einsen..
Oder worauf wolltest du hinaus mit den Beispielen?
Vielen Dank für die Geduld =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 Di 26.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Wenn n gegen [mm] \infty [/mm] geht, dann können jederzeit Elemente meiner Beispiele auftreten. D.h. deine Schlussfolgerung muss auch für diese Folgen gelten.
> [mm] n=p_{1}^{a_{1}}\cdot{}p_{2}^{a_{2}}\cdot{}...\cdot{}p_{i}^{a_{i}}
[/mm]
> da eine Primfaktorzerlegung existiert.
> die [mm] a_{i} \in \IN [/mm] sind beschränkt (?)
Dafür sollte das Beispiel [mm] d_i=2^i \to\infty [/mm] sein.
Die Primfaktorzerlegung sollte klar sein. Wie verhält sich diese für [mm] i\to \infty [/mm] also auch [mm] d_i \to \infty [/mm] ? ( Insbesondere natürlich [mm] a_1 [/mm] von [mm] p_1=2 [/mm] )
> ein unendliches produkt mit endlichen Faktoren und vielen Einsen..
Dafür war [mm] c_i=\produkt_{j=1}^ib_j [/mm] gedacht. Wie sieht das Produkt hier für [mm] i\to \infty [/mm] aus, wenn alle Primzahlen aufsteigend mal in die [mm] b_j [/mm] 's eingesetzt werden ?
Aber nicht vergessen :
> [mm] b_{i} [/mm] jeweils 2 Teiler.
Ciao.
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hi..
Auch auf die Gefahr hin jetzt für total doof gehalten zu werden, ich muss nochmals nachhaken, den ich versteh es leider immer noch nicht :o
Also eine Primfaktorzerlegung existiert immer:
n= [mm] \produkt_{p \in \IP}p^{ord_{p}n}
[/mm]
wenn ich nun das erste Beispiel ansehe, für i [mm] \to \infty [/mm] wächst die Folge unbeschränkt, also [mm] d_{i} \to \infty
[/mm]
Die Teiler sind die [mm] 2^{i} [/mm] i [mm] \in \IN. [/mm] Nur hier ist der Haken, an dem ich immer wieder scheitere, Wie komme ich zur Behauptung die Teiler sind beschränkt? [mm] \IN [/mm] ist ja abzählbar unendlich..
Und das Produkt der Primzahlen ist auch unendlich (das ist mir klar). Jede Primzahl hat 2 Teiler, also habe ich die gleiche Folge wie im ersten Beispiel..
ein etwas verzweifelter Grenzwert :s
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 26.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alle unsere Tips laufen drauf raus, dass die Zahl der Teiler sicher NICHT beschränkt ist!
denn du kannst aus k Primzahlen immer eine natürliche Zahl zusmmenmultipl. und da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibts auch sicher zu JEDEN n eine Zahl N die n Teiler HAT. ALSO ZAHL DER TEILER NICHT BESCHRÄNKT.
Wie kommst du auf die Idee sie sei beschränkt? Fang doch einfach an mit [mm] N=\produkt_{i=1}^{n}p_i [/mm] und dann n gegen unendlich.
Gruss leduart
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