Teiler in Gaußschen ganz. Zahl < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmung aller Teiler von 5 bzw. von 7 in [mm] \IZ [/mm] [i] = Gaußschen ganzen Zahlen. |
Also alle Teiler in [mm] \IZ [/mm] sind natürlich auch Teiler in [mm] \IZ, [/mm] aber die Zahlen haben ja sicher noch andere Teiler in [mm] \IZ[i]. [/mm] Wie kann man die bestimmen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mo 14.12.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmung aller Teiler von 5 bzw. von 7 in [mm]\IZ[/mm] =
> Gaußschen ganzen Zahlen.
> Also alle Teiler in [mm]\IZ[/mm] sind natürlich auch Teiler in
> [mm]\IZ,[/mm] aber die Zahlen haben ja sicher noch andere Teiler in
> [mm]\IZ[i].[/mm] Wie kann man die bestimmen ? [/i][/mm]
Verwende die Norm: $N(a + i b) = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$. [/mm] Für [mm]a + i b \in \IZ[i][/mm] ist $N(a + i b) [mm] \in \IN$, [/mm] und $N$ ist multiplikativ. Damit kannst du die Normen von Elementen bestimmen, die als Teiler von 5 und 7 auftreten können. Versuche dann, alle diese Elemente zu bestimmen (es sind nicht sehr viele); dann kannst du "von Hand" prüfen, ob $5 / x$ bzw. $7 / y$ in [mm]\IZ[i][/mm] ist für potentielle Teiler $x, y$.
LG Felix
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Okay meinst du das so ?
Also angenommen a+bi ist ein Teiler von 5 , dann ist ja (a+bi)(c+di)=5 also ist N(a+bi)N(c+di)=N(5)=25 . Kann man ja 25 nur schreiben als 5*5 , oder 25*1 also ist N(a+bi) [mm] \in [/mm] {1,5,25} stimmt das soweit ? Aber da kommen ja dann doch relativ viele Element in Frage und für die muss man dann testen ob sie 5 teilen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Di 15.12.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Okay meinst du das so ?
> Also angenommen a+bi ist ein Teiler von 5 , dann ist ja
> (a+bi)(c+di)=5 also ist N(a+bi)N(c+di)=N(5)=25 . Kann man
> ja 25 nur schreiben als 5*5 , oder 25*1 also ist N(a+bi)
> [mm]\in[/mm] {1,5,25} stimmt das soweit ?
Genau.
> Aber da kommen ja dann
> doch relativ viele Element in Frage und für die muss man
> dann testen ob sie 5 teilen.
Nein, es sind recht wenige. Es gibt vier Lösungen mit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 1$, acht Lösungen mit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 5$ und 16 Lösungen mit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 25$. Schau dir zuerst die Lösungen mit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 1$ an: das sind gerade alle Einheiten in [mm]\IZ[i][/mm]. Und jede andere Lösung ist eine von 2+4 Grundlösungen multipliziert mit einer solchen Einheit.
Es gibt also nicht sooo viele Dinge, die du anschauen musst, wenn du es etwas geschickt machst.
LG Felix
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Vielen Dank . Dann werde ich das mal versuchen.
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