Teiler eines Ringes < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei der Ring $R = [mm] \IZ[\wurzel{5}i] [/mm] = [mm] {a+b\wurzel{5}i | a,b \in\IZ}$
[/mm]
(a) Bestimmen Sie alle Teiler von $2, [mm] (1+\wurzel{5}i), 2(1+\wurzel{5}i)$ [/mm] und 6 in R.
(b)Zeigen Sie, dass die Elemente [mm] $2(1+\wurzel{5}i)$ [/mm] und $6$ in R keinen ggT haben. |
Hi Matheraum,
ich glaube zwar, dass die Aufgabe relativ leicht ist, aber irgendwie fehlt mir die zündende Idee um zu verstehen, wie ich an die Aufgabe herangehen muss.
Meine Idee soweit:
Ich soll ja überprüfen, ob bzw welche Teiler die 2 in R hat. Es muss also eine Zahl [mm] $x=(a+b\wurzel{5}i)$ [/mm] in R geben, so dass gilt: [mm] (a+b\wurzel{5}i)|2 \Rightarrow [/mm] $2 = [mm] (a+b\wurzel{5}i) \cdot (c+d\wurzel{5}i)$ [/mm] (hab ich die Aufgabe soweit richtig verstanden?).
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 = [mm] (a+b\wurzel{5}i) \cdot (c+d\wurzel{5}i) [/mm] = [mm] (ac-5bd)+i\wurzel{5}(ad+bc)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 = ac - 5bd
0 = ad + bc
So, jetzt hab ich 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Wie mache ich hier weiter?
Ich dachte noch dran, den Betrag beider Seiten auszurechnen, was aber auch nicht viel weiter hilft, glaube ich. ( $|2| = [mm] \wurzel{(ac)^{2} + 25(bd)^{2} +5(bc)^{2} +5(ad)^{2}}$ [/mm] ).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 29.01.2011 | | Autor: | wauwau |
du musst noch bedenken, in deinen Gleichungen, dass alle a,b,c,d ganze Zahlen sind.
Wenn du jetzt aus deinen Gleichungen eine Variable eliminerst, bleibt eine quadr. Glg. in einer best. Variable über. Dann kannst du durch Fallunterscheidung und Untersuchung des Radikanden (der ebenfalls ganzzahlig sein musse - also ein vollst. Quadrat) auf die Lösung
a=2, b=0,c=1,d=0 oder umgekehrt kommen....
Bei 6 bekommst du 2 Lösungen a=3,b=0,c=2,d=0 bzw. a=1,b=1,c=1,d=-1
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Hi wauwau,
danke für die Hilfe.
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Hi,
ich habe mich wohl zu schnell bedankt, denn ich hab doch noch eine Frage:
ich habe ja
$2 = ac - 5bd$ (I) und
$0 = ad + bc $ (II)
jetzt habe ich nach a aufgelöst [mm] \Rightarrow [/mm] a = 10 [mm] \bruch{bd}{c} [/mm] und habe es in (II) eingesetzt:
$0 = 10 [mm] \bruch{bd^{2}}{c} [/mm] + bc = [mm] (d\wurzel{10\bruch{b}{c}} [/mm] + [mm] \wurzel{bc})(d\wurzel{10\bruch{b}{c}} [/mm] - [mm] \wurzel{bc})$
[/mm]
So, jetzt hab ich ja die quadrat. Gleichung (hier nach d).
Was für eine Fallunterscheidung muss ich hier jetzt machen bzw welche Fälle gibt es?(Sorry, hier schein ich ziemlich auf dem Schlauch zu stehen.)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mo 31.01.2011 | | Autor: | wauwau |
???
wie löst du denn auf???
Bei mir ist immer noch:
[mm] a=\frac{2+5bd}{c}
[/mm]
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