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| Aufgabe | Für eine natürliche Zahl [mm] n=10^{k}a_{k}+10^{k-1}a_{k-1}+...+10a_{1}+a_{0} [/mm] mit 0 [mm] \le a_{i} \le [/mm] 9 für i=0,...,k seien
[mm] s=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{k} [/mm] (Quersumme)
[mm] t=a_{0}-a_{1}+a_{2}-...+(-1)^{k}a_{k} [/mm] (alternierende Quersumme)
Beweisen Sie die folgenden Teilbarkeitsregeln:
(i) n [mm] \equiv [/mm] s (mod 3)
(ii) n [mm] \equiv [/mm] s (mod 9)
(iii) n [mm] \equiv [/mm] t (mod 11) |
Hallo!
Ich muss unbedingt bis Donnerstag diese Aufgabe irgendwie gebacken bekommen. Habe aber leider absolut keine Ahnung, wie ich das machen soll.
Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte!
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Für eine natürliche Zahl
> [mm]n=10^{k}a_{k}+10^{k-1}a_{k-1}+...+10a_{1}+a_{0}[/mm] mit 0 [mm]\le a_{i} \le[/mm]
> 9 für i=0,...,k seien
> [mm]s=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{k}[/mm] (Quersumme)
> [mm]t=a_{0}-a_{1}+a_{2}-...+(-1)^{k}a_{k}[/mm] (alternierende
> Quersumme)
> Beweisen Sie die folgenden Teilbarkeitsregeln:
> (i) n [mm]\equiv[/mm] s (mod 3)
> (ii) n [mm]\equiv[/mm] s (mod 9)
> (iii) n [mm]\equiv[/mm] t (mod 11)
> Hallo!
>
> Ich muss unbedingt bis Donnerstag diese Aufgabe irgendwie
> gebacken bekommen. Habe aber leider absolut keine Ahnung,
> wie ich das machen soll.
Beantworte mal die drei folgenden Fragen:
1) Was fuer $k$ sind zulaessig in $10 [mm] \equiv [/mm] k [mm] \pmod{3}$, [/mm] $10 [mm] \equiv [/mm] k [mm] \pmod{9}$ [/mm] und $10 [mm] \equiv [/mm] k [mm] \pmod{11}$? [/mm] (Denk dran, nicht nur positive Werte von $k$ zu betrachten!)
2) Dasselbe fuer ein festes $n [mm] \in \IN$: [/mm] Was fuer $k$ sind zulaessig in [mm] $10^n \equiv [/mm] k [mm] \pmod{3}$, $10^n \equiv [/mm] k [mm] \pmod{9}$ [/mm] und [mm] $10^n \equiv [/mm] k [mm] \pmod{11}$?
[/mm]
3) Wende das doch mal auf $n$ an.
LG Felix
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Ich kann leider keine dieser Fragen beantworten weil ich wie geschrieben mit der kompletten Aufgabe nichts anfangen kann. Was haben denn überhaupt die [mm] \equiv [/mm] ´s zu bedeuten und was das mod?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mi 10.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Teil mal 10, 100,100 usw durch 3 und sieh dir den Rest an.
Welchen Rest lässt dann 2*100, 3*100 7*100.
bei 11 lässt du auch negative Reste zu also:10:11 =1 rest -1 100:11=9 Rest 1 usw. Welchen Rest lässt jetzt 300+50+7?
Dann lies die Aufgabe nochmal langsam durch, rechne ein Beispiel: 1234567 lässt welchen Rest bei division durch 3,9,11? ist 123456 durch 3 teilbar? usw.
N=s mod 3 heisst bei division von n durch 3 bleibt derselbe Rest wie bei division von s durch 3, wobei s die Quersumme von N iist.
Gruss leduart
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Hallo,
es ist schwer im Internet eine geeignete Stelle zu finden um Fragen zu stellen, auf die man eine verständliche Antwort bekommt. Dieses Forum macht mich glauben, daß ....
Also:
Wie bekommt man (schnell) für eine Zahl 'n' die kleinste Zahl 'm' wobei gilt,
daß Quersumme('m') == 'n' und 'm' muß durch 'n' teilbar sein (ohne Rest).
Hinweis:
Da ich Programmierer bin ist der grundlegende Algorithmus natürlich kein Problem aber sehr wohl die benötigte Zeit! Ich vermute, daß mir irgendein Wissen bzgl. Zahlentheorie fehlt.
Könnte bitte jemand helfen?
Gruß
Thomas
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Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, ist [mm] m\in\IN [/mm] ein Vielfaches von [mm] n\in\IN [/mm] mit der Eigenschaft Quersumme(m)=n.
Der Algorithmus wird also am einfachsten die Folge n,2n,3n,4n,... durchlaufen, jeweils die Quersumme berechnen und =n überprüfen.
Die Teilerregel besagt unter anderem, dass stets m und Quersumme(m) denselben 9er-Rest haben. Wegen Q(m)=n und m=kn, [mm] k\in\IN, [/mm] gilt also 9 teilt kn-n = (k-1)n. Wenn nun 3 kein Teiler von n ist, muss 9 Teiler von (k-1) sein. Folglich genügt es die Folge n, 10n, 19n, 28n, 37n,... zu betrachten.
Ob es weitere Vereinfachungen gibt, weiß ich momentan nicht.
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