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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 So 23.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
| Aufgabe | Für welche ganzzahöigen Werte von n ist [mm] 20^n+16^n-3^n-1 [/mm] durch 323 teilbar ? Beweis mittels Fallunterscheidung !
Ansatz:
323 = 17*19 (beides sind Primzahlen) Also nach keiner Teilbarkeitregel definiert.
Die gegebene Zahl n kann in der Form 2n oder 2n+1 für ungerde Zahlen stehen.
Also 20^2n + 16^2n -3^2n -1 = [mm] 20^2 [/mm] + [mm] 20^n +16^2 +16^n [/mm] -9 [mm] -3^n [/mm] -1
da 20^2n immer ein Null als Endziffer hat, so ist sie immer durch 2 und 5 teilbar... nur weiter komme ich nicht. Ich muss die Fallunterscheidung zwischen gerden und ungerden ganzen Zahlen führen.
Wie schreibe ich den Beweis in korrekter Form auf ?
Für eine Antwort wäre ich mehr als dankbar.
Ps: Ist diese Aufgabe für eine 13. Klasse LK zu schwer ? |
Für welche ganzzahöigen Werte von n ist [mm] 20^n+16^n-3^n-1 [/mm] durch 323 teilbar ? Beweis mittels Fallunterscheidung !
Ansatz:
323 = 17*19 (beides sind Primzahlen) Also nach keiner Teilbarkeitregel definiert.
Die gegebene Zahl n kann in der Form 2n oder 2n+1 für ungerde Zahlen stehen.
Also 20^2n + 16^2n -3^2n -1 = [mm] 20^2 [/mm] + [mm] 20^n +16^2 +16^n [/mm] -9 [mm] -3^n [/mm] -1
da 20^2n immer ein Null als Endziffer hat, so ist sie immer durch 2 und 5 teilbar... nur weiter komme ich nicht. Ich muss die Fallunterscheidung zwischen gerden und ungerden ganzen Zahlen führen.
Wie schreibe ich den Beweis in korrekter Form auf ?
Für eine Antwort wäre ich mehr als dankbar.
Ps: Ist diese Aufgabe für eine 13. Klasse LK zu schwer ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mrfesto,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für welche ganzzahöigen Werte von n ist [mm]20^n+16^n-3^n-1[/mm]
> durch 323 teilbar ? Beweis mittels Fallunterscheidung !
> Ansatz:
> 323 = 17*19 (beides sind Primzahlen) Also nach keiner
> Teilbarkeitregel definiert.
> Die gegebene Zahl n kann in der Form 2n oder 2n+1 für
> ungerde Zahlen stehen.
> Also 20^2n + 16^2n -3^2n -1 = [mm]20^2[/mm] + [mm]20^n +16^2 +16^n[/mm] -9
> [mm]-3^n[/mm] -1
> da 20^2n immer ein Null als Endziffer hat, so ist sie
> immer durch 2 und 5 teilbar... nur weiter komme ich nicht.
> Ich muss die Fallunterscheidung zwischen gerden und
> ungerden ganzen Zahlen führen.
> Wie schreibe ich den Beweis in korrekter Form auf ?
> Für eine Antwort wäre ich mehr als dankbar.
> Ps: Ist diese Aufgabe für eine 13. Klasse LK zu schwer ?
> Für welche ganzzahöigen Werte von n ist [mm]20^n+16^n-3^n-1[/mm]
> durch 323 teilbar ? Beweis mittels Fallunterscheidung !
> Ansatz:
> 323 = 17*19 (beides sind Primzahlen) Also nach keiner
> Teilbarkeitregel definiert.
> Die gegebene Zahl n kann in der Form 2n oder 2n+1 für
> ungerde Zahlen stehen.
> Also 20^2n + 16^2n -3^2n -1 = [mm]20^2[/mm] + [mm]20^n +16^2 +16^n[/mm] -9
> [mm]-3^n[/mm] -1
> da 20^2n immer ein Null als Endziffer hat, so ist sie
> immer durch 2 und 5 teilbar... nur weiter komme ich nicht.
> Ich muss die Fallunterscheidung zwischen gerden und
> ungerden ganzen Zahlen führen.
> Wie schreibe ich den Beweis in korrekter Form auf ?
> Für eine Antwort wäre ich mehr als dankbar.
Da 323=17*19, ist die Gleichung [mm]20^{n}+16^{n}-3^{n}-1[/mm]
für gewisse n auch durch 17 bzw. 19 teilbar.
Betrachte daher [mm]20^{n}+16^{n}-3^{n}-1[/mm] modulo 17
und modulo 19. Und ziehe dann Deine Schlüsse daraus.
Für welche n ist
[mm]20^{n}+16^{n}-3^{n}-1 \equiv 0 \ \left(17\right)[/mm]
[mm]20^{n}+16^{n}-3^{n}-1 \equiv 0 \ \left(19\right)[/mm]
Ziehe daraus nun Deine Schlüsse.
> Ps: Ist diese Aufgabe für eine 13. Klasse LK zu schwer ?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
Erst einmal vielen Dank !
Ich hab jetzt die Frage, ob ich das unbedingt mit a mod b machen muss, oder ob ich es auch mit Hilfe der Vielfachensumme beweisen kann, das würde heißen:
Es gilt:
[mm] 20^2 [/mm] + [mm] 16^2 [/mm] - [mm] 3^2 [/mm] -1 ist durch 323 (17*19) teilbar.
20^2n + 16^2n - 3^2n -1 ist das gleiche wie :
[mm] 20^2 [/mm] * [mm] 20^1 [/mm] + [mm] 16^2 [/mm] + [mm] 16^1 [/mm] - [mm] 3^2 [/mm] + [mm] 3^1 [/mm] -1
Kann man jetzt hier etwas mit Vielfachesummen machen? Mit Modulo komm ich nicht ganz zurecht, da es doch eigentlich klar ist, dass es nur für gerden der Form 2n funktioniert. (mit n>=1) Kannst du mir noch einmal näher erlätern was du damit meinst ? Das wäre echt nett !!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
Hab gerade ein wenig Probiert, und möchte Frage, ob das so sein kann :
Für gerade n definiere ich 2n+2 (mit n>=0), dann:
20^2n+2 + 16^2n+2 - 3^2n+2 -1 =
.... =
[mm] (20^n+1)^2 [/mm] + [mm] (16^n+1)^2 [/mm] - [mm] (3^n+1)^2 [/mm] - 1
na für n=0 dieses gilt, kann ich dann nicht sagen, dass das obige ein Vielfachensumme ist ?
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Wie bist Du denn zu dieser Umformung gekommen? Sie stimmt für n=0, aber hast Du auch schon entweder eine Restklassenbetrachtung oder eine vollständige Induktion durchgeführt? So, wie es jetzt dasteht, ist es wohl falsch, und mit einer Vielfachensumme kannst Du so auch nicht arbeiten.
Nimm doch mal den Tipp von Mathepower auf!
Ich mach's mal für modulo 17 vor:
[mm] 20^n+16^n-3^n-1\equiv 3^n+(-1)^n-3^n-1 \mod{17}
[/mm]
Bei weiterer Umformung (oder schon hier durch genaueres Hinsehen) findest Du, dass das für alle geraden n gilt.
Jetzt schau Dir mal den anderen, schwierigeren Fall an, modulo 17. Die Schnittmenge der beiden Lösungsmengen ist die von Dir gesuchte.
PS: Nein, ich denke nicht, dass das für die 13.Klasse zu schwierig ist.
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Das stimmt so. Du hast es verstanden!
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
Suuuuuper ich danke dir suuuuper doll  !!
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