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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Mi 03.12.2008 | | Autor: | anna88 |
| Aufgabe | (Teilbarkeitskriterien) Sei n eine natürliche Uahl, die in dezimaler Schreibweise durch die Ziffernfolge [mm] a_{k}a_{k-1} [/mm] ... [mm] a_{2}a_{1}a_{0} [/mm] dargestellt wird (d.h. [mm] a_{i} \in [/mm] {0,1,...,8,9} und n = [mm] \summe_{i=0}^{k}a_{i}\* 10^{i}).
[/mm]
i) Zeigen Sie, dass n genau dann durch 3 bzw. 9 teilbar ist, wenn die Quersumme [mm] \summe_{i=0}^{k} a_{i} [/mm] es ist.
ii) Zeigen Sie, dass n genau dann durch 11 teilbar ist, wenn die alternierende Quersumme [mm] \summe_{i=0}^{k} (-1)^{i} \* a_{i} [/mm] es ist.
iii) Formulieren und beweisen Sie eine ähnliche Teilbarkeitsregel dür die Division durch 7. |
Also ich hab mir folgendes überlegt.
zur i) z.b. n=36036 q=3+6+0+3+6 = 18. Für 3 bzw. 9 ist ein Teilbarkeitskriterium: Die Quersumme q einer dezimalen Zahl n ist genau dann durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn n durch 3 bzw. 9 teilbar ist.
Aber ich wusste nicht so ganz wie ich das mit dem Summenzeichen schreiben soll. Kann mir jemand helfen?
zur ii) n = [mm] \summe_{i=0}^{k} a_{i} \* 1000^{i}
[/mm]
mit einem k > 0 und allen 0 [mm] \le a_{i} \le [/mm] 1000
Statt 1000 setze nun (1001 - 1)
n = [mm] \summe_{i=0}^{k} a_{i} (1001-1)^{i}
[/mm]
und wende den binomischen Lehrsatz an:
[mm] \summe_{i=0}^{k} a_{i} \* \summe_{m=0}^{i} \vektor{i \\ m} 1001^{i-m} \* (-1)^{m}
[/mm]
Viele der Summanden enthalten den Faktor 1001.
Nur die Summanden mit i = m enthalten diesen Faktor nicht.
Diese Summanden sind:
[mm] \summe_{i=0}^{k} (-1)^{i} \* a_{i}
[/mm]
Weil die anderen Summanden alle durch 1001 und somit auch durch 11 teilbar sind, gilt darum:
n ist genau dann durch 11 teilbar wenn: [mm] \summe_{i=0}^{k} (-1)^{i} \* a_{i} [/mm] es ist.
stimmt das so???
zur iii) Es gibt eine Teilbarkeitsregel für die Division durch 7.
7|n [mm] \gdw 7|Q_{3}(n)
[/mm]
[mm] Q_{3}(n) [/mm] ist die alternierende
Quersumme 3. Stufe von n. Das berechnet man so: Die letzten 3
Stellen von n - die 3 Stellen davor + die 3 Stellen davor -
... (also:
(a2a1a0)10 -
(a5a4a3)10 +
(a8a7a6)10 - ...).
Beispiel:
164456789 ist durch 7 teilbar, da 789-456+164 = 497 und 497
teilbar durch 7.
stimmt das so???
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Guten Abend
zur ersten Aufgabe kann ich was sagen: Du sollst ja zeigen, dass $n$ durch 9 Teilbar ist, dann ist auch die Quersumme durch 9 teilbar und umgekehrt ist die Quersumme durch 9 Teilbar so ist auch n durch 9 Teilbar. Sei jetzt $Q(n)$ die Quersumme von $n$. Versuche mal zu zeigen, dass$Q(n) [mm] \cong [/mm] n\ mod \ 9$ ist. Was bringt dir das, wenn man noch weiß, das Kongruenz eine Äquivalenzrelation ist?
So zur zweiten Aufgabe noch was: Hier geht das genauso von der Vorgehensweise. Zeige das q(n) [mm] \cong [/mm] n mod 11. Hier muss man allerdings mit der Alternierenden Reihe ein bisschen aufpassen
Einen schönen Abend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Do 04.12.2008 | | Autor: | anna88 |
kann mir noch jemand bei den anderen aufgaben helfen?? ob sie stimmen?
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Guten Abend nochmal
also bei der ersten Aufgabe sollst du ja gerade beweisen dass die Quersumme $Q(n)$ einer Zahl genau dann durch 3 bzw durch 9 teilbar ist, wenn auch $n$ selbst durch 3 bzw durch 9 teilbar ist. Du hast das an einem Beispiel nachgerechnet(Was immer gut ist, damit man sich mal überzeugt, dass das stimmen könnte). Was du jetzt zeigen musst ist, ist der allgemeine Fall:
$9|n [mm] \gdw [/mm] 9|Q(n)$.
Zeige dazu, dass $Q(n) [mm] \cong [/mm] n\ mod\ 9$ also $9|(Q(n)-n)$. Dazu einfach einmal die Darstellungen von [mm] $n=\summe_{i=0}^{k}a_{i}10^{i}$ [/mm] und [mm] $Q(n)=\summe_{i=0}^{k} a_{i}$ [/mm] einsetzten und umformen. Was fällt auf?
Wenn du das gezeigt hast, ist es nur noch ein Kleiner schritt zur Behauptung.
Bei b) ist ja schon deine Definiton von [mm] n=\summe_{i=0}^{k} a_{i}\cdot 1000^{i}. [/mm] Wo bleiben die Zahlen die kleiner sind als 1000? Aber ich denke die Idee ist richtig. Du definierst [mm] n=\summe_{i=0}^{k} a_{i}\cdot 10^{i}=\summe_{i=0}^{k} a_{i}\cdot (11-1)^{i}=n=$ \summe_{i=0}^{k} a_{i} [/mm] * [mm] \summe_{m=0}^{i} \vektor{i \\ m} 11^{i-m} [/mm] * [mm] (-1)^{m} [/mm] $. Dann bekommt man eine Summe, in der bis auf die Glieder der Form $ [mm] 11^0\cdot (-1)^i$ [/mm] alle Potenzen von 11 enthalten. Man kann n also aufteilen in [mm] n=\summe_{i=0}^{k}a_{i}\cdot[( \summe_{m=0}^{i-1}11^{i-m}\cdot (-1)^{m})+(-1)^{i}]\ [/mm] (Ich hab hier einfach den Letzten Summanden rausgeschrieben). Ist $n$ nun durch 11 teilbar, dann ist [mm] \summe_{i=0}^{k}a_{0}(-1)^{i}=n-11\cdot \summe [/mm] .... auch durch 11 teilbar. Ist die summe durch [mm] \summe_{i=0}^{k}a_{0}(-1)^{i} [/mm] durch 11 teilbar so ist es auch n.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 So 07.12.2008 | | Autor: | anna88 |
dankeeee
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