Teilbarkeitsbeweis (mit 9) < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:04 Di 23.11.2010 | | Autor: | jikz |
| Aufgabe | | (i) Beweisen Sie, dass [mm]10^k -1[/mm] für jedes [mm]k \in \IN[/mm] durch 9 teilbar ist. |
Hallo Zusammen!
Ich dachte mir, dass ich die Aufgabenstellung am Besten per Induktion löse, da es ja darum geht etwas für ganz N zu beweisen.
Dummerweise find ich m.E. keine geeignete Aussage, die ich mittels Vollständiger Induktion beweisen kann.
Ich hab mir überlegt, dass eine Zahl [mm]x \in \IN[/mm] mod y immer äquivalent zu [mm]x mod y + x[/mm] sein muss, wenn y ein Teiler von x ist.
Also habe ich folgende Bedingung notiert:
[mm]10^k-1[/mm] = ( [mm]10^k-1[/mm] mod 9 ) + [mm]10^k-1[/mm]
Als Induktionsanfang mit k=1:
[mm]10^1-1[/mm] = ( [mm]10^1-1[/mm] mod 9 ) + [mm]10^1-1[/mm]
stimmt.
Induktionsvoraussetzung:
Es gibt ein [mm]k \in \IN[/mm] für das gilt:
[mm]10^{k} -1[/mm] = ( [mm]10^{k} -1[/mm] mod 9 ) + [mm]10^{k} -1[/mm]
Induktionsschluss:
[mm]10^{k+1} -1[/mm] = [mm](10^{k} * 10^{1}) -1[/mm] = ( ( [mm]10^{k} -1[/mm] mod 9 ) + [mm]10^{k} -1[/mm] ) * ( ([mm]10^{1} -1[/mm] mod 9) + [mm]10^{1} -1[/mm] )
stimmt.
Habe nur leider die Befürchtung, dass das irgendwie Murks ist, was ich da getan habe und suche Jmd. der mir etwas auf die Sprünge hilft.
Vielen Dank,
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Di 23.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Thomas,
uff, was du aufgeschrieben hast war mir um diese Uhrzeit zu kompliziert, ich schlage folgendes vor:
Die Ausage a|b (a teilt b), bedeutet: es existiert ein [mm] n\in\IN, [/mm] mit $a*n=b$.
Also: [mm] 9|10^k-1 \gdw [/mm] es ex. ein [mm] n\in\IN, [/mm] mit [mm] 9*n=10^k-1.
[/mm]
Damit sollte die Induktion nach k zu machen sein. Habs aber selbst noch nicht komplett durchgerechnet, ich lass dich erstmal machen ;)
LG walde
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Hallo Thomas,
führ doch mal eine Polynomdivision durch: [mm] (x^k-1):(x-1)=?
[/mm]
Und dann setze x=10. Es sollte natürlich [mm] k\in\IN [/mm] gelten, aber das steht sicher bei den Bedingungen für die Aufgabe, oder?
Noch ein Tipp: kennst Du die Summenformel für geometrische Reihen? Wenn ja, sagt Dir die obige Division in dieser Beziehung etwas?
Grüße
reverend
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Huhu,
noch eine anderer herangehensweise wäre, direkt anzugeben, was [mm] $10^k-1$ [/mm] bei Division durch 9 übrig lässt, nämlich [mm] $\underbrace{1\ldots 1}_{\text{k mal}}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 02:19 Di 23.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Gonozal,
da stimmt was nicht. Meinst Du k Mal $ [mm] 1+\cdots [/mm] +1 $? Das ist im allgemeinen falsch. Ebenso aber k Mal $ [mm] 1*\cdots [/mm] *1 $.
Grüße
reverend
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Huhu reverend,
ich meine gar keine Operation dazwischen..... das sind tiefstehende Punkte und meinte eine Zahl mit k Einsen.
Für k=3 also 111 
Und das kommt bei [mm] 10^3-1 [/mm] bei Division durch 9 nunmal raus.
MFG,
Gono.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 11:48 Di 23.11.2010 | | Autor: | reverend |
ach so... 
Na dann, nichts für ungut. Ich hätte da nur eine andere Schreibweise gewählt, aber Du hast natürlich in der Dezimaldarstellung völlig recht.
Grüße
reverend
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