Teilbarkeit n^2 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Do 15.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Zeige [mm] n^2 [/mm] / (( [mm] n+1)^n [/mm] -1) für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Induktion
I.Anfang n=1
1/1
I.Vorraussetzung [mm] (n-1)^2/(( (n-1)+1)^{n-1} [/mm] -1)
also
[mm] (n-1)^2 /(n)^{n-1} [/mm] -1
I.Schritt n-1 -> n ZuZeigen: [mm] n^2 [/mm] / [mm] ((n+1)^n [/mm] -1)
[mm] (n+1)^n [/mm] -1 = [mm] \sum_{k=0}^n (\vektor{n \\ k}*n^n [/mm] * [mm] 1^{n-k}) [/mm] -1
Habt ihr einen Tipp für mich, wie ich weitermachen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Do 15.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo quasimo!
Warum Induktion? Wende auf [mm] $(n+1)^n-1$ [/mm] direkt den binomischen Lehrsatz an und Du siehst direkt, dass man [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern kann.
Zu Deiner Induktion: warum machst Du hier die Ind.-Vorsaussetzung mit $n-1_$ ?
Aber auch bei Deinem Weg musst Du nun den Summenterm [mm] $\left(\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*n^k\right)-1$ [/mm] erst etwas ausschreiben und dann zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 15.03.2012 | | Autor: | quasimo |
> Hallo quasimo!
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> Warum Induktion? Wende auf [mm](n+1)^n-1[/mm] direkt den binomischen
> Lehrsatz an
[mm] (n+1)^n-1 [/mm] =( [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} n^k) [/mm] -1
> Du siehst direkt, dass man [mm]n^2[/mm] ausklammern
> kann.
Ich weiß nicht ob ich da zu dumm bin, aber ich komme nicht drauf wie ich das mache. Schande über mich..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Do 15.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo quasimo!
Schreibe die Summe mal mit den ersten Summanden aus. Dann erst "sieht" man das weitere.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Do 15.03.2012 | | Autor: | quasimo |
ach, manchmal ist man einfach zu doof zum denken
( $ [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} n^k) [/mm] $ -1 = [mm] \sum_{k=1}^n \vektor{n \\ k} n^k [/mm] = [mm] n^2 [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2}*n^2 [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 3}* n^3 [/mm] + .. + [mm] n^n [/mm] = [mm] n^2 [/mm] * ( 1 + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 3} [/mm] * n + ... + 1* [mm] n^{n-2})
[/mm]
Kann ich den hinteren teil noch gescheid auf ein Summenzeichen bringen?
[mm] n^2 [/mm] * ( [mm] \sum_{k=1}^n \vektor{n\\k} n^{???}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Do 15.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> ( [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\
k} n^k)[/mm] -1 = [mm]\sum_{k=1}^n \vektor{n \\
k} n^k[/mm]
> = [mm]n^2[/mm] + [mm]\vektor{n \\
2}*n^2[/mm] + [mm]\vektor{n \\
3}* n^3[/mm] + .. + [mm]n^n[/mm] = [mm]n^2[/mm] * ( 1 + [mm]\vektor{n \\
2}[/mm] + [mm]\vektor{n \\
3}[/mm] * n + ... + 1* [mm]n^{n-2})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann ich den hinteren teil noch gescheid auf ein
> Summenzeichen bringen?
> [mm]n^2[/mm] * ( [mm]\sum_{k=1}^n \vektor{n\\
k} n^{???}[/mm]
Ist das notwendig?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Do 15.03.2012 | | Autor: | quasimo |
merci ;)
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