Teilbarkeit in Ringen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Mi 08.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Es sei R = [mm] $\{ a+ i\wurzel{5}b\ |\ a,b \in \IZ \} \subset \IC$ [/mm] ein kommutativer Ring mit Eins.
Bestimmen Sie alle Teiler von 2, 1+ [mm] i\wurzel{5}, [/mm] 2(1+ [mm] i\wurzel{5}) [/mm] und 6 in R
Zeigen Sie, dass die Elemente 2(1+ [mm] i\wurzel{5}) [/mm] und 6 keinen größten gemeinsamen Teiler in R haben. |
Hallo,
Hab ziemliche Schwierigkeiten mit der Aufgabe
Hab bisher folgende Teiler: Für [mm] 2=\{ -2,-1, 1,2\}, [/mm] 1+ [mm] i\wurzel{5}=\{ -1, 1, 1+ i\wurzel{5}, 1 - i\wurzel{5}\} [/mm] und für [mm] 6=\{ -6,-3,-2,-1, 1,2,3,6, 1+ i\wurzel{5},1- i\wurzel{5}\}, [/mm] . Bei 2(1+ [mm] i\wurzel{5}) [/mm] stell ich mir die Frage: Soll das 2+ [mm] 2i\wurzel{5} [/mm] sein oder ein erzeugtes Ideal?
Und wie könnte man zeigen, dass ich wirklich auch alle Teiler der Elemente bisher in dem Ring hab?
Hoffe ihr könntet mir weiterhelfen, vielen Dank im voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Mi 08.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Hab ziemliche Schwierigkeiten mit der Aufgabe
> Hab bisher folgende Teiler: Für [mm]2=\{ -2,-1, 1,2\},[/mm] 1+
> [mm]i\wurzel{5}=\{ -1, 1, 1+ i\wurzel{5}, 1 - i\wurzel{5}\}[/mm] und
[m]-1- i\wurzel{5} [/m], oder?
> für [mm]6=\{ -6,-3,-2,-1, 1,2,3,6, 1+ i\wurzel{5},1- i\wurzel{5}\},[/mm]
> . Bei 2(1+ [mm]i\wurzel{5})[/mm] stell ich mir die Frage: Soll das
> 2+ [mm]2i\wurzel{5}[/mm] sein oder ein erzeugtes Ideal?
Soll das Element sein ...
> Und wie könnte man zeigen, dass ich wirklich auch alle
> Teiler der Elemente bisher in dem Ring hab?
Betrachte [m]N(a)=a\bar{a}[/m] (komplexe Konjugation im zweiten Faktor). Diese ist multiplikativ, dh [m]N(a*b)=N(a)*N(b)[/m]. Jetzt schau dir N genau an und kannst die Koeffizienten abschätzen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 08.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Entschuldige aber was soll dieses N sein? Das hatten wir noch gar nicht definiert
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mi 08.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Entschuldige aber was soll dieses N sein? Das hatten wir
> noch gar nicht definiert
Das hat SEcki in seiner Antwort definiert. Es nimmt uebrigens nur Werte in [mm] $\IN$ [/mm] an und ist (wie SEcki gesagt hat) multiplikativ. Wenn also $a = b c$ gilt, dann gilt auch $N(a) = N(b) [mm] \cdot [/mm] N(c)$. Sprich $N(b)$ und $N(c)$ sind Teiler von $N(a)$.
LG Felix
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