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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Di 27.05.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle [mm] $g\in\mathbb{N}$, [/mm] für die [mm] $(111)_g$ [/mm] durch $7$ teilbar ist. |
Hallo zusammen,
komme bei dieser Aufgabe an einer Stelle nicht weiter. Die Zahl [mm] $(111)_g$ [/mm] kann geschrieben werden als
[mm] $(111)_g=1+g+g^2=1+g(1+g)$.
[/mm]
Somit müssen die natürlichen Zahlen $g$ bestimmt werden, für die $1+g(1+g)$ durch $7$ teilbar ist. Nur leider komme ich hier nicht weiter...wahrscheinlich sehe ich das Offensichtliche nicht.
Vielen Dank für Eure Hinweise und viele Grüße
Gregor
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> Bestimmen Sie alle [mm]g\in\mathbb{N}[/mm], für die [mm](111)_g[/mm] durch [mm]7[/mm]
> teilbar ist.
> Hallo zusammen,
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> komme bei dieser Aufgabe an einer Stelle nicht weiter. Die
> Zahl [mm](111)_g[/mm] kann geschrieben werden als
> [mm](111)_g=1+g+g^2=1+g(1+g)[/mm].
> Somit müssen die natürlichen Zahlen [mm]g[/mm] bestimmt werden, für
> die [mm]1+g(1+g)[/mm] durch [mm]7[/mm] teilbar ist. Nur leider komme ich hier
> nicht weiter...wahrscheinlich sehe ich das Offensichtliche
> nicht.
Hallo,
schau Dir als erstes mal an, welchen Reste mod 7 für g überhaupt infrage kommen.
Danach solltst Du eine Idee haben, die Du dann beweisen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Di 27.05.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
durch Ausprobieren weiß ich mittlerweile, dass wohl die Zahlen $2+7n$ und $4+7n$ die Bedingung erfüllen. Außerdem kommen als Reste nur 1,3 und 6 in Frage, aber ich sehe leider weder wie ich dies beweisen, noch wie ich eine allgemeine Aussage daraus ziehen kann.
Viele Grüße
Gregor
> > Bestimmen Sie alle [mm]g\in\mathbb{N}[/mm], für die [mm](111)_g[/mm] durch [mm]7[/mm]
> > teilbar ist.
> > Hallo zusammen,
> >
> > komme bei dieser Aufgabe an einer Stelle nicht weiter. Die
> > Zahl [mm](111)_g[/mm] kann geschrieben werden als
> > [mm](111)_g=1+g+g^2=1+g(1+g)[/mm].
> > Somit müssen die natürlichen Zahlen [mm]g[/mm] bestimmt werden,
> für
> > die [mm]1+g(1+g)[/mm] durch [mm]7[/mm] teilbar ist. Nur leider komme ich hier
> > nicht weiter...wahrscheinlich sehe ich das Offensichtliche
> > nicht.
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> Hallo,
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> schau Dir als erstes mal an, welchen Reste mod 7 für g
> überhaupt infrage kommen.
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> Danach solltst Du eine Idee haben, die Du dann beweisen
> kannst.
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> Hi,
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> durch Ausprobieren weiß ich mittlerweile, dass wohl die
> Zahlen [mm]2+7n[/mm] und [mm]4+7n[/mm] die Bedingung erfüllen. Außerdem
> kommen als Reste nur 1,3 und 6 in Frage, aber ich sehe
> leider weder wie ich dies beweisen, noch wie ich eine
> allgemeine Aussage daraus ziehen kann.
Hallo,
Du brauchst das doch lediglich für g=7n+r mit r=0,1,2,3,4,5,6 vorzurechnen.
Fall 1: r=0
Es ist [mm] 1+g+g^2=1+7n+49n= [/mm] 1+7*8n, also läßt [mm] 1+g+g^2 [/mm] bei Division durch 7 den Rest 1 und ist somit nicht durch 7 teilbar.
Fall 2: r=1
Es ist [mm] 1+g+g^2=1+(7n+1)+(7n+1)^2=..., [/mm] also
usw.
Gruß v. Angela
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