Teilbarkeit durch 5 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] in Dezimalschreibweise gegeben als [mm] n=x_{1}x_{2}...x_{k}, [/mm] wobei [mm] x_{i} \in [/mm] {0, ...9} für i=1, ...k.
Weisen Sie durch modulo-Rechnung und Logik nach:
n ist durch 5 teilbar [mm] \gdw x_{k} \in [/mm] {0, 5} |
Hallo,
Ich weiß nicht, wie ich dies nachweisen soll. Hier soll ja eine Äquivalenz nachgewiesen werden. Bekanntlich gilt ja:
(A [mm] \gdw [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] (( A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \Rightarrow [/mm] A))
Mein 1. Ansatz wäre gewesen( A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \Rightarrow [/mm] A) nachzuweisen, mit
A: n ist durch 5 teilbar
B: [mm] x_{k} \in [/mm] {0, 5}
Aber hier fällt ja sofort auf, dass es sich hier um Aussageformen handelt, womit wir den Wahrheitsgehalt von A und B nicht kennen. Zudem ist in der Aufgabe gefordert auch "modulo-Rechnung" verwenden, was hier dann nicht vorkäme.
Mein 2. Ansatz wäre, dass ich einfach eine Äquivalenzkette bilde:
n ist durch 5 teilbar [mm] \gdw [/mm] ...(modulo-Rechnung)... [mm] \gdw x_{k} \in [/mm] {0, 5}
Aber weise ich damit wirklich etwas nach?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mo 11.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 10^n=2^n*5^n=0 [/mm] mod 5 n in N
daraus [mm] a*10^n+b*10^m [/mm] =0mod 5
und 0mod5+5=0mod 5
jetzt noch die x statt, amb
Gruss leduart
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Hallo leduart,
könntest du deinen Text bitte nochmal etwas verständlicher schreiben? Ich verstehe nicht genau was du meinst (Nicht Mathematisch, sondern Inhaltlich verstehe ich es nicht ganz. Da sind auch eine Tippfehler drinnen glaube ich)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 13.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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es gilt doch mit [mm]n_{k-1} = x_1 x_2...x_{k-1}\textrm{ }n = 10*n_{k-1}+x_k[/mm] kommst Du damit weiter ?
( [mm]10*n_{k-1} \equiv\text{ } ?\text{ } mod\text{ }5[/mm] )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Di 12.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Mit $ [mm] n=x_{1}x_{2}...x_{k}, [/mm] $ ist doch
[mm] n=x_k+10*x_{k-1}+...+10^{k-1}*x_1
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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Hallo Zusammen,
Danke für eure Hinweise. Diese haben mir schon etwas weitergeholfen:
Es gilt laut Aufgabenstellung:
n ist durch 5 teilbar [mm] \gdw x_{k} \in [/mm] {0, 5}
Für n gilt: [mm] n=x_k+10*x_{k-1}+...+10^{k-1}*x_1
[/mm]
Somit gilt in [mm] \IZ_5: n=x_k+10*x_{k-1}+...+10^{k-1}*x_1=x_k
[/mm]
Damit also n durch 5 teilbar ist, muss [mm] x_{k} \in [/mm] {0, 5} bzw. 5 [mm] \equiv x_k [/mm] mod 5 gelten.
Reicht dies als Nachweis aus?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Fr 15.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Peeter,
da steht eine Teilbarkeitsregel, die man i.a. an der Grundschule lernt. Sie ist nur vielleicht so leicht zu erkennen, weil sie mathematisch "komplizierter" (man kann auch sagen: korrekt) notiert ist.
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] in Dezimalschreibweise gegeben als
> [mm]n=x_{1}x_{2}...x_{k},[/mm] wobei [mm]x_{i} \in[/mm] {0, ...9} für i=1,
> ...k.
> Weisen Sie durch modulo-Rechnung und Logik nach:
>
> n ist durch 5 teilbar [mm]\gdw x_{k} \in[/mm] {0, 5}
An der Schule hieß das noch:
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre Endziffer 0 oder 5 ist.
Dass das umgekehrte auch gilt, wird da stillschweigend vorausgesetzt. Außerdem sind zum Zeitpunkt dieser Regel noch gar keine anderen Zahlen bekannt als die natürlichen.
Wie würden nun Schüler die Hin- und die Rückrichtung zeigen?
Der Weg ist auch bei Deiner Aufgabe noch der gleiche, nur eben "komplizierter" (man kann auch sagen: korrekt  ) zu notieren.
In jedem Fall wird zugrunde gelegt, dass der Stellenwert "10" im Dezimalsystem ja ein Vielfaches von 5 ist.
Grüße
reverend
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