Teilbarkeit durch 3 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Fr 07.09.2007 | | Autor: | luis52 |
| Aufgabe | Eine Zahl [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist genau dann durch 3 teilbar, wenn
die Quersumme ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist. |
Moin,
wie beweist man die obige Aussage?
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Fr 07.09.2007 | | Autor: | rainerS |
> Eine Zahl [mm]n\in\IN[/mm] ist genau dann durch 3 teilbar, wenn
> die Quersumme ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.
> Moin,
>
> wie beweist man die obige Aussage?
Wie wäre es mit einem interativen Ansatz:
Nimm eine Zahl a mit n+1 Dezimalstellen, also [mm]a<10^{n+1}[/mm]. Die Dezimaldarstellung ist
[mm] a = \summe_{i=0}^{n} a_i 10^i = a_n10^n + \summe_{i=0}^{n-1} a_i 10^i = a_n (9+1)10^{n-1}+ \summe_{i=0}^{n-1} a_i 10^i = 9 a_n10^{n-1} + a^n10^{n-1}+ \summe_{i=0}^{n-1} a_i 10^i [/mm]
Der erste Summand ist durch 3 (und 9) teilbar, und der Rest lässt sich schreiben:
[mm]a^n10^{n-1}+ \summe_{i=0}^{n-1} a_i 10^i = (a_n +a_{n-1})10^{n-1} +\summe_{i=0}^{n-2} a_i 10^i[/mm].
Durch Fortsetzung folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
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Hi
hätte noch einen Beweis zum Anbieten.
Wir betrachten den Körper [mm]\IZ_{3} = \{0; 1; 2\}[/mm]
Wenn eine Zahl 'x' durch 3 teilbar ist gilt: [mm]x \equiv 0[/mm] mod 3
Also müssen wir nur diese 3 Zahlen betrachten.
1/3 [mm] \not\in \IN_{0}
[/mm]
2/3 [mm] \not\in \IN_{0}
[/mm]
0/3 [mm] \in \IN_{0} [/mm] und auch die einzige Zahl, dessen Quersumme durch 3 teilbar ist.
In Worten: Jede 3te Zahl ist durch 3 teilbar, bei 0 beginnend.
Wenn man die Zahl immer um 1 erhöht, wird auch die Quersumme immer
um 1 erhöht (mod 3).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Sa 08.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
rainers Anweisung in anschaulich übersetzt:
[mm] 10^n [/mm] lässt bei division durch 3 den Rest 1,
also [mm] a*10^n [/mm] den Rest a, aist aber die Ziffer der n-temn Stelle. Dasselbe Argument gilt übrigens für 9
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Di 11.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin,
vielen Dank an Rainer, TrinkMilch und Leduart.
Mir war Rainers Schluss Durch Fortsetzung folgt die Behauptung
nicht so ganz klar. In einer PN informierte er mich, dass er damit meinte
dass es für eine gegebene Zahl von $ (n+1) $ Stellen möglich ist, in
n Schritten auf die Form
$ [mm] a=a_n [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_0 [/mm] + [mm] \text{(durch 9 teilbare Zahl)} [/mm] $
zu kommen.
Okay, dann leuchtet mir auch das ein.
Gleichwohl bat ich ihn darum, sich mal einen dritten Beweis
anzuschauen, der mit vollstaendiger Beweis gefuehrt wird und bei dem
seine Idee "verwurstet" wird. Zur Ergaenzung dieses Thread lege ich ihn
hier ab.
Nochmals danke an alle Beteiligten.
lg
Luis
Die Behauptung ist offenbar richtig fuer n=0, also jede Zahl a der
Form $ a = [mm] a_0 10^0 [/mm] $, $ [mm] a_0 \in [/mm] M = [mm] \{ 0,1,2,...,9 \} [/mm] $. Sie sei richtig
fuer jede Zahl a der Form $ [mm] a=\sum_{i=0}^na_i10^i [/mm] $ mit $ [mm] a_i \in [/mm] M $. Zu
zeigen ist sie fuer jede Zahl der Form $ [mm] a=\sum_{i=0}^ {n+1}a_i10^i [/mm] $ mit
$ [mm] a_i \in [/mm] M $, d.h. a ist genau dann durch 3 bzw. 9 teilbar, falls
$ [mm] a_{n+1}+a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0 [/mm] $ durch 3 bzw. 9 teilbar ist.
Mit Rainers Ansatz koennen wir schreiben:
$ [mm] a=\sum_{i=0}^{n+1}a_i10^i=9a_{n+1}10^n+(a_{n+1}+a_n)10^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_i10^i [/mm] $
Wir unterscheiden zwei Faelle:
(i) $ [mm] a_{n+1}+a_n\le9 [/mm] $, also $ [mm] a_{n+1}+a_n\in [/mm] M $. Dann gilt fuer a die
Darstellung $ [mm] a=9a_{n+1}10^n+\sum_{i=0}^nb_i10^i [/mm] $ mit $ [mm] b_n,...,b_1,b_0\in [/mm] M $. Nach Induktionsvoraussetzung ist $ [mm] a-9a_{n+1}10^n [/mm] $ und damit a genau dann durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn $ [mm] b_n+b_{n-1}+...+b_1+b_0=a_{n+1}+a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0 [/mm] $
durch 3 bzw. 9 teilbar ist.
(ii) $ [mm] a_{n+1}+a_n>9 [/mm] $. Dann ist $ [mm] a_{n+1}+a_n=:b_n-9 [/mm] $ mit $ [mm] b_n\in [/mm] M $. Wir koennen schreiben:
$ [mm] \begin{matrix} a &=&\sum_{i=0}^{n+1}a_i10^i \\ &=&9a_{n+1}10^n+(b_n-9)10^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_i10^i \\ &=&9(a_{n+1}-1)10^n+\sum_{i=0}^{n}b_i10^i \end{matrix} [/mm] $
mit $ [mm] b_n,b_{n-1},...,b_1,b_0\in [/mm] M $. Nach Induktionsvoraussetzung ist
$ [mm] a-9(a_{n+1}-1)10^n [/mm] $ und damit a genau dann durch 3 bzw. 9 teilbar,
wenn $ [mm] b_n+b_{n-1}+...+b_1+b_0=(a_{n+1}+a_n+9)+a_{n-1}+...+a_1+a_0 [/mm] $, also
$ [mm] a_{n+1}+a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0 [/mm] $ durch 3 bzw. 9 teilbar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 12.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ich hätte noch eine andere Idee, die darauf beruht, dass [mm]10^n-1[/mm] immer durch 9 teilbar ist. Das sind nämlich die Zahlen 9, 99, 999, ...
Ganz allgemein ist für jede natürliche Zahl m [mm]m^n-1[/mm] durch [mm]m-1[/mm] teilbar. Das folgt aus der Identität
[mm]
x^n-1 = (x-1) \summe_{k=1}^{n-1} x^k
[/mm]
Dann kann ich die Dezimaldarstellung einer Zahl a schreiben als
[mm]
a = \summe_{k=0}^n a_k 10^k = \summe_{k=0}^n (a_k (10^k-1) + a_k ) = \summe_{k=0}^n a_k (10^k-1) + \summe_{k=0}^n a_k
[/mm]
Die erste Summe ist durch 9 teilbar, weil jeder einzelne Summand durch 9 teilbar ist. Die zweite Summe ist die Quersumme der Zahl a.
Also ist a genau dann durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mi 12.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Rainer,
sehr elegant. Klasse.
Man kann den Schlusssatz noch verschaerfen zu
Also ist a genau dann durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 oder 9 teilbar ist.
lg
Luis
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