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| Aufgabe | | Durch welche Potenz von 999 ist 1000! teilbar? |
Hallo Leute,
ich denke ich habe diese Augabe gelöst, aber ich würde gern mal eine Überprüfung haben.
[mm] \bruch{1000!}{999^{n}}=\bruch{1000!}{3^{3n}*37^{n}}
[/mm]
Ich gehe davon aus, das [mm] n\in\IN [/mm] ist. Ich habe 999 in Primfaktoren zerlegt.
Nun wäre meine Antwort, dass nur für n=1 1000! teilbar ist. Denn für n>1 würde im Zähler die 37 mehrfach auftreten, kann aber nur einmal gekürzt werden, den da sie Primzahl ist kann auch keine Potenz von ihr durch ein anderes Produkt dargestellt werden.
Wäre dankbar für eine Überprüfung und Anmerkung
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:30 Do 31.08.2006 | | Autor: | Fulla |
hi woodstock!
was ist denn zum beispiel mit 3 und 333? das sind beides faktoren von 1000!
lieben gruß,
Fulla
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Grüß dich, schön das du dir das alles mal ansiehst.
ICh weiß nicht so recht wie du das meinst, denn 3 und 333 sind keine natürlichen Potenzen von 999.
Erläutere es bitte es was näher, i glaub ich verstehe dich bloß nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Do 31.08.2006 | | Autor: | Fulla |
ups!
hab das mit der potenz übersehen....
aber: [mm]3*333*9*111*27*37*999=999^4[/mm] alle faktoren auf der linken seite sind teiler von 1000! --> n=4
(mein maple sagt zwar dass alle potenzen bis [mm] 999^{27} [/mm] 1000! teilen, aber dem trau ich nun wirklich nicht... )
nochmals grüße,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Do 31.08.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Fulla, hallo Woodstock
> ups!
> hab das mit der potenz übersehen....
>
> aber: [mm]3*333*9*111*27*37*999=999^4[/mm] alle faktoren auf der
> linken seite sind teiler von 1000! --> n=4
>
> (mein maple sagt zwar dass alle potenzen bis [mm]999^{27}[/mm] 1000!
> teilen, aber dem trau ich nun wirklich nicht... )
n ist auf jeden Fall größer als 4, denn 999 ist auch Teiler von $ 81 [mm] \cdot [/mm] 74 $. Man sieht jetzt, dass sie auch sicher größer als 5 ist.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Do 31.08.2006 | | Autor: | DirkG |
> (mein maple sagt zwar dass alle potenzen bis [mm]999^{27}[/mm] 1000!
> teilen, aber dem trau ich nun wirklich nicht... )
Solltest du hier aber doch tun, s.u. meinen Beitrag. 
Gruß,
Dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Do 31.08.2006 | | Autor: | DirkG |
Hallo Leute,
ein bisschen mehr Systematik wäre angebracht:
Primfaktor $p$ ist in $n!$ in der Potenz
[mm] $$\left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor [/mm] + [mm] \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor [/mm] + [mm] \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor [/mm] + [mm] \cdots$$
[/mm]
enthalten, die Summe bricht nach endlich vielen Gliedern ab, sobald nämlich [mm] $p^m [/mm] > n$ für ein $m$ ist. Die zweiten, dritten usw. Summanden berücksichtigen die Tatsache, dass bei Vielfachen von [mm] $p^2$, $p^3$ [/mm] usw. innerhalb des Fakultätsprodukts diese Primfaktoren ja auch mehrfach gezählt werden müssen!
Bei n=1000 und p=37 ergibt das die Potenz [mm] $\left\lfloor \frac{1000}{37} \right\rfloor [/mm] = 27$, hier ist ja bereits [mm] $37^2=1369>1000$.
[/mm]
Für n=1000 und Primfaktor p=3 rechne mal schön selbst, sonst verrate ich hier ja alles.
Gruß,
Dirk
P.S.: [mm] $\lfloor \cdots \rfloor$ [/mm] soll natürlich die Gaußklammern darstellen.
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Hallo Dirk,
ich danke dir für deine Lösung, leider ist mir nicht alles klar.
Für p=3 ist m=6 also ist die Reihe, wenn ich die Gaußklammern richtig verwende: 333+111+37+12+4+1=498; Diese Zahl sagt mir nun, dass [mm] 3^{498} [/mm] in 1000! enthalten ist? Und da nun 37 und 3 in meinem Fall durch n verbunden ist, muss ich die kleinste der beiden Potenzen nehmen nämlich 27 und das ist die Lösung meiner Aufgabe?
Ich würde mich noch dafür interesieren, wo ich etwas Näheres über diese Reihe finden kann und unter welchen Stichwort?
Eine kleine Kritik habe ich trotzdem, diese Aufgabe ist eine Knobelaufgabe aus einem Mathebuch der 12. Klasse, müsste es nicht noch ein weiteren Weg geben? Vielleicht habt ihr noch eine Idee, ich werde mal darüber nachdenken, denn die Lösung ist zwar interessant, aber zu sehr nach dem Schema - einsetzen und fertig.
Trotzdem danke für die schnelle Hilfe
Mfg Steven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:23 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi nochmal
ich hätte noch nen lösungsvorschlag:
du musst ja möglichst oft die 999 aus den faktoren von 1000! "basteln".
1*37*27=999
2*37*54=4*999
3*37*9=999
4*37*108=16*999
...
27*37=999
(die roten und blauen faktoren dürfen sich nicht wiederholen)
wenn du die liste fortführst, bekommst du insgesamt 27 (verschiedene) kombinationen für die 999.
ich hoffe dass ich diesmal nicht wieder unsinn erzähle
schönen gruß,
Fulla
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Grüß dich,
also ich glaube nicht, dass das so funktioniert. Wie du richtig schreibst muss ich durch die Faktoren von 1000! die 999 so oft wie möglich bilden, dabei darf jeder Faktor nur einmal vorkommen. Die 37 kommt aber öfters vor und warum unterscheidest du dabei zwischen blauen und roten Zahlen?
Bsp. für 28: 28*756*37=784*999
Was denkst du dazu, aber trotzdem danke!!!!!!
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Grüße nochmal
Mir ist nun zu deinem Ansatz etwas eingefallen.
Wenn man ihn leicht verändert funktioniert es denke ich.( Ich hoffe, du meintest es nicht so)
27n*37n= [mm] n^2 [/mm] *999 (n steht immer noch für die Potenz)
Wobei nun die Zahl [mm] n^2 [/mm] nach dem durchlaufen wieder zur Auswahl der Faktoren die ich benutzen kann gehört.
Dabei muss 27n und 37n stehts kleiner gleich als 1000 sein. Deshalb ist n=27 der größte Wert.
Bsp. für n=16:
432*592=256*999
Was denkst du dazu???
Gruß Woodstock
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi
also, wenn du die 37-terme zusammenfasst (2*37=74, 3*37=111,...), kommt die 37 selbst nur einmal vor...
und die roten und blauen faktoren hab ich nur bunt gemacht, damit ich mich besser auf sie beziehen konnte....
deine modifizierung meines vorschlags ist auch nicht schlecht.
gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:10 Fr 01.09.2006 | | Autor: | DirkG |
> Diese Zahl sagt mir nun, dass [mm]3^{498}[/mm] in 1000! enthalten ist?
> Und da nun 37 und 3 in meinem Fall durch n verbunden ist, muss
> ich die kleinste der beiden Potenzen nehmen nämlich 27 und
> das ist die Lösung meiner Aufgabe?
Die Argumentation hat einen kleinen Fehler: In 999 ist dreimal die 3 als Primfaktor enthalten, also musst du als Lösung der Aufgabe die kleinere der beiden Zahlen 27 und [mm] $\left\lfloor \frac{498}{3} \right\rfloor [/mm] = 166$ nehmen. Hier macht das nichts, es ist wieder 27, aber bei anderen Teilern als 999 schon!
> Eine kleine Kritik habe ich trotzdem, diese Aufgabe ist
> eine Knobelaufgabe aus einem Mathebuch der 12. Klasse,
> müsste es nicht noch ein weiteren Weg geben?
Das ist alles elementar hier, also was hast du einzuwenden? Hast du dir schon mal richtige Wettbewerbsaufgaben wie z.B. der Mathematikolympiade angeschaut? Da wäre diese Aufgabe hier für eine niedere Stufe (Regional- oder Landesrunde) der 9. oder 10.Klasse geeignet.
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Hallo Dirk,
ich will hier keinen Streit anfangen, denn ich bin sehr dankbar für deine Hilfe, da ich wirklich noch viel zu lernen hab und einige Fehler mache. Ich muss dir aber sagen, dass ich einige Aufgaben der Matheolympiade kenne und dass ich auch schon dran teilgenommen habe und dabei ist mir noch nicht aufgefallen, dass ich eine solche Reihe bzw. ähnliche Formeln kennen musste. Viel mehr kam es auf eigene kretivität an.
Ich würde mich trotzdem freuen, wenn du mir noch ein Stichwort zu dieser Reihe geben kannst, denn ich kenne sie wirklich noch nicht.
Gruß Woodstock
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Sa 02.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Wer will den hier streiten?
Erstens ist das keine Reihe, sondern eine Summe - ich hab oben deutlich erwähnt, dass sie abbricht, sobald [mm] $p^m>n$ [/mm] erreicht ist. Nehmen wir ruhig mal das obige Beispiel n=1000 und p=3. Dann sind innerhalb des Produktes der Fakultät $1000!$ die Zahlen
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ... , 990, 993, 996, 999
durch 3 teilbar, wenn man durchzählt sind das genau 333 Zahlen, allgemein eben [mm] $\left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor$.
[/mm]
Jetzt haben wir aber noch nicht alle Dreien in 1000! erfasst, denn da sind ja noch die Vielfachen von [mm] $3^2=9$:
[/mm]
9, 18, 27, 36, 45, ... , 981, 990, 999
Von jedem dieser Vielfachen haben wir bisher erst einen Faktor 3 erfasst, nicht zwei! Also kommen nochmal 111, allgemein [mm] $\left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor$ [/mm] solche Primfaktoren dazu. Jetzt sind die Vielfachen der Kuben [mm] $3^3=27$
[/mm]
27, 54, 81, 108, 135, ... , 945, 972, 999
dran, von denen es 37, allgemein [mm] $\left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor$ [/mm] gibt ... Jetzt kann ich wohl aufhören. Am Ende summiert man diese Anzahlen.
Wie ich gerade eben erläutert habe, muss man diese Formel also keineswegs "kennen", man kann sie sich erarbeiten! Schließlich hat man bei einer Olympiade etwa eineinhalb Stunden pro Aufgabe zur Verfügung, da sollten für einen aufgweckten Schüler dieses Alters in dieser Zeit solche Gedankengänge durchaus machbar sein - das ist jedenfalls meine Meinung.
Das Schlusswort gebe ich dir:
> Viel mehr kam es auf eigene Kreativität an.
Eben.
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