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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 So 07.01.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{Es sei } [/mm] S := [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2} \text{ . Man zeige}$
[/mm]
[mm] $1-\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}-\dfrac{1}{8^2}-\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{11^2}+\dfrac{1}{13^2} [/mm] - - + + [mm] \ldots [/mm] = [mm] \dfrac49 [/mm] S$ |
Hallo.
Wie zeige ich so etwas?
Bin schon so weit, dass ich das untere so umgeformt habe:
$ [mm] \ldots [/mm] = [mm] (1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+\dfrac{1}{9^2} [/mm] + [mm] \dots) [/mm] - [mm] (\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{9^2}+\dfrac{1}{15^2} [/mm] + [mm] \dots) [/mm] - [mm] (\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{8^2} [/mm] + [mm] \dots)$
[/mm]
Bringt mir das etwas?
Hoffe, es meldet sich hier noch einer um die Zeit.
Gruß Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 So 07.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Peter
> [mm]\text{Es sei } S := \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2} \text{ . Man zeige}[/mm]
>
> [mm]1-\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}-\dfrac{1}{8^2}-\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{11^2}+\dfrac{1}{13^2} - - + + \ldots = \dfrac49 S[/mm]
>
> Hallo.
> Wie zeige ich so etwas?
>
> Bin schon so weit, dass ich das untere so umgeformt habe:
>
> [mm]\ldots = (1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+\dfrac{1}{9^2} + \dots) - (\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{9^2}+\dfrac{1}{15^2} + \dots) - (\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{8^2} + \dots)[/mm]
>
> Bringt mir das etwas?
Ein wenig schon, denn [mm] S1=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{8^2} [/mm] + [mm] \dots)[/mm]
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(2k)^2} \bruch{1}{4}*\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}
[/mm]
Die 2 anderen sind nicht so geschickt umzuformen.
Wenn du aber die unter Summe ansiehst, kannst du feststellen dass von S := [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}
[/mm]
erstmal 2*S1 abgezogen wurde.
dann fehlen noch alle durch 3 teilbaren Zahlen, die kannst du wieder zusammenfassen, musst dann aber noch die durch 6 teilbaren wieder , da die schon bei den geraden abhanden gekommen sind.
Kurz, gehe von S aus und zieh ab, was nicht passt, das musst du jeweils als Vielfaches von S schreiben.
Lies das 3 mal, es ist nicht so leicht aufzuschreiben, wie es in Wirklichkeit ist.
Gruss leduart
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palim palim
ich knoble gerade an der gleichen aufgabe. Und ich habe mir das gerade zich mal durchgelesen und habe das irgendwie nicht verstanden...
kann mir das bitte nochmal jemand erklären?
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