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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 So 21.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Benutze die Taylorreihe von ln(1+x) um die Taylorreihe von
f(x) = [mm] x^{2}ln(1+x^{4}) [/mm] zu berechnen. |
Also die Taylorreihe von ln(1+x) ist ja
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} [/mm] * [mm] \bruch{x^{k+1}}{k+1}
[/mm]
Wie muss ich da vorgehen? kann ich da [mm] x^{2}ln(1+x^[4]) [/mm] irgendwie den teil ln(1+x) ausklammern und dann die Reihe des Rests berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 So 21.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Benutze die Taylorreihe von ln(1+x) um die Taylorreihe von
>
> f(x) = [mm]x^{2}ln(1+x^{4})[/mm] zu berechnen.
> Also die Taylorreihe von ln(1+x) ist ja
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}[/mm] * [mm]\bruch{x^{k+1}}{k+1}[/mm]
>
> Wie muss ich da vorgehen? kann ich da [mm]x^{2}ln(1+x^[4])[/mm]
> irgendwie den teil ln(1+x) ausklammern und dann die Reihe
> des Rests berechnen?
Hallo,
berechne erst mal die Taylorreihe für [mm] ln(1+x^{4}), [/mm] indem du in der Taylorreihe für ln(1+x) jedes vorkommende x durch [mm] x^4 [/mm] ersetzt.
In der so erhaltenen Reihe wird dann einfach jeder Summand mit [mm] x^2 [/mm] multipliziert.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 21.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Wie ist das gemeint, wie folgt ?:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{x^{4k+1}}{k+1} [/mm] $
Und das ganze dann noch mit [mm] x^{2} [/mm] multiplizieren?
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Hallo Marius6d,
> Wie ist das gemeint, wie folgt ?:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}[/mm] * [mm]\bruch{x^{4k+1}}{k+1}[/mm]
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}[/mm] * [mm]\bruch{\left\blue{(}x^{4}\right\blue{)}^{k+1}}{k+1}[/mm]
>
> Und das ganze dann noch mit [mm]x^{2}[/mm] multiplizieren?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 21.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{\left\blue{(}x^{4}\right\blue{)}^{k+1}}{k+1} [/mm] $ [mm] *x^{2}
[/mm]
--> $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{\left\blue{(}x^{4}\right\blue{)}^{k+1}*x^{2}}{kx^{2}+x^{2}} [/mm] $
so?
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Hallo Marius6d,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}[/mm] *
> [mm]\bruch{\left\blue{(}x^{4}\right\blue{)}^{k+1}}{k+1}[/mm] [mm]*x^{2}[/mm]
>
> --> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}[/mm] *
> [mm]\bruch{\left\blue{(}x^{4}\right\blue{)}^{k+1}*x^{2}}{kx^{2}+x^{2}}[/mm]
> so?
Hier hast Du die Reihe mit [mm]\bruch{x^{2}}{x^{2}}[/mm] erweitert.
Daher ist nur
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} *\bruch{\left\blue{(}x^{4}\right\blue{)}^{k+1}}{k+1} *x^{2}[/mm]
richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 21.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ok, dann soll ich noch die Taylorreihe von [mm] \bruch{sin(x^2)}{x}
[/mm]
anhand der Taylorreihe von sin(x) -->
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
Dann habe ich für x [mm] x^{2} [/mm] eingesetzt und das ganze mit [mm] \bruch{1}{x} [/mm] multipliziert, gibt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{(x^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} *\bruch{1}{x}
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo Marius6d,
> Ok, dann soll ich noch die Taylorreihe von
> [mm]\bruch{sin(x^2)}{x}[/mm]
>
> anhand der Taylorreihe von sin(x) -->
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> Dann habe ich für x [mm]x^{2}[/mm] eingesetzt und das ganze mit
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] multipliziert, gibt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{(x^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} *\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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