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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:11 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo liebe Matheraum- Community. Mich beschäfigt zur Zeit die folgende Frage: Ist es generell möglich einen Konvergenzradius R zu erhalten, welcher von x abhängig ist? Beispielsweise habe ich, durch eine hoffentlich korrekte Berechnung, den Konvergenzradius R = 2/(x-2) erhalten. Laut Aufgabenstellung hat der Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] den Wert 2. In der Musterlösung der Aufgabe wird als Lösung das folgende Konvergenzintervall angegeben: absolute Konvergenz für alle x aus (0,4]. Das würde bedeuten, dass der Konvergenzradius, zumindest hinsichtlich der rechten Intervallgrenze, den Wert 2 aufweisen müsste. Kann man diesen Wert durch weitere Verrechnungen u.a. mit dem o.g. Konvergenzradius erhalten? Oder ist es eher wahrscheinlich, dass ich mich hier verrechnet habe? Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen. Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcel!
Bitte verrate uns auch mal die entsprechende Aufgabe ...
Ansonsten meine ich, dass der Konvergenzradius nicht von der Variablen $x_$ abhängig sein kann.
Oder soll hier $x_$ der Entwicklungspunkt [mm] $x_0$ [/mm] sein?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Taylorreihe von f: [mm] (0,\infty) \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] ln(x) um den Entwicklungspunkt 2. Für welche x konvergiert die Taylorreihe und für welche x konvergiert die gegen f? Tipp: Betrachten Sie das Restglied, um die Konvergenz der Taylorreihe gegen f zu untersuchen. |
Zu Beginn habe ich das Bildungsgesetz der Ableitungen von ln(x) bestimmt. Daraufhin habe ich jenes Gesetz mit Formel für die Taylorreihe, den Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] = 2 bereits eingesetzt, multipliziert. Es kommt dann nach Musterlösung folgende Reihe heraus: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*(x-2)^{n}/(n*2^{n}). [/mm] Weiterhin wird gesagt, dass mit dem Quotientenkriterium T(x,2) für alle x aus (0,4] konergiert. Mein berechnetes Konvergenzintervall lautet R = 2/(x-2). Habe mich dann sicherlich verrechnet, oder? 
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Hast du denn die gleiche Reihe raus? Du hast dich tatsächlich verrechnet.
Dein Konvergenzintervall gibt ja genau an für welche x (in Abhängigkeit von deinem Entwicklungspunkt) deine Reihe konvergiert. Insofern kann sie kein x enthalten. Genauer gesagt darfst du diesen Term der x enthält [mm] (x-2)^n [/mm] nicht in deine Betrachtungen hineinbeziehen. Du untersucht mit dem Quotientenkriterium für Potenzreihen deine Reihe ohne [mm] (x-2)^n [/mm] und bekommst dann für R = 2 raus. Das heißt, dass deine Reihe für das Intervall (0,4) (wegen EP 2) konvergiert. Am Rand für x=0 und x=4 musst du dann die Konvergenz gesondert untersuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank, das war eine gute Erklärung. Ich würde jetzt noch gerne wissen, wie man genau die Art des Intervalls bestimmt. Die Werte 0 und 4 sind mir klar.
Wie aber bestimmt man die Art des Intervalls, also woher weiss man, ob es sich um eine geschlosse oder um eine offene Intervallgrenze handelt? In der Musterlösung ist die rechte Seite geschlossen und die linke Seite geöffnet, also : T(x,2) konvergiert für alle x aus (0,4].
Die linke Intervallgrenze sagt ja aus, dass die 0 der erste Wert ist, der nicht mehr dazu gehört. Das widerum würde bedeuten, dass der Konvergenzradius auf der linken Seite nicht mehr 2 beträgt. Vielleicht könnte mir da noch mal jemand weiterhelfen.
Nochmal: Wie bestimme ich die Art des Intervalls und wieso beträgt der berechnete Konvergenzradius R nach links nicht 2? Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Vielen Dank, das war eine gute Erklärung. Ich würde jetzt
> noch gerne wissen, wie man genau die Art des Intervalls
> bestimmt. Die Werte 0 und 4 sind mir klar.
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> Wie aber bestimmt man die Art des Intervalls, also woher
> weiss man, ob es sich um eine geschlosse oder um eine
> offene Intervallgrenze handelt? In der Musterlösung ist die
> rechte Seite geschlossen und die linke Seite geöffnet, also
> : T(x,2) konvergiert für alle x aus (0,4].
>
> Die linke Intervallgrenze sagt ja aus, dass die 0 der erste
> Wert ist, der nicht mehr dazu gehört. Das widerum würde
> bedeuten, dass der Konvergenzradius auf der linken Seite
> nicht mehr 2 beträgt. Vielleicht könnte mir da noch mal
> jemand weiterhelfen.
Die Art des Intervalls bestimmst Du, wie mikemodanoxxx geschrieben hat, die Werte 0 und 4 für x in die Taylorreihe einsetzt, und dann die entstehende Reihe untersuchst.
>
> Nochmal: Wie bestimme ich die Art des Intervalls und wieso
> beträgt der berechnete Konvergenzradius R nach links nicht
> 2? Gruß,
>
Für x=0 erhältst Du die ![[]](/images/popup.gif) harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert.
Für x=4 erhältst Du eine alternierende Reihe, die nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert.
Daher konvergiert die Taylorreihe für [mm]x \in \left(0, 4\right][/mm]
>
> Marcel
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ok super, vielen Dank!
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