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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 So 22.01.2006 | | Autor: | lui |
| Aufgabe | [mm] f(x)=2xe^{x} [/mm] für [mm] x_{0}=1
[/mm]
Taylorentwicklung mit !Potenzreihen! |
Für meine Facharbeit (Thema Tylorreihen) will ich die oben genannte Funktion mithilfe von Potenzreihen approximieren.
Mein Ansatz:
[mm] 2(x-1)e^{(x-1)}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2*(x-1)^{n+1}}{n!}
[/mm]
wenn ich das nach [mm] 2xe^{x} [/mm] auflöse bekomme ich:
[mm] 2xe^{x}=(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2e}{n!}*(x-1)^{(n+1)})+2e^{x}
[/mm]
diese "Taylorreihe" hab ich mal zeichnen lassen. Das ist eine super approximation, sogar besser als die nach definition entwickelte!
Mein Problem ist aber, dass diese KEINE Taylorreihe mehr ist. Da meine Konstante eine Funktion von x ist. [mm] 2e^{x}
[/mm]
Kann mir jemand eine Umformung zeigen, die zum einen eine Approximation ist und zum anderen eine Taylorreihe ist??
Hab schon einiges versucht!
Oder ist der ganze Ansatz schon falsch?? Wie mache ich es dann!
Also vielen Dank schon mal!
Grüße Lui
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 So 22.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Lui
> [mm]f(x)=2xe^{x}[/mm] für [mm]x_{0}=1[/mm]
> Taylorentwicklung mit !Potenzreihen!
> Für meine Facharbeit (Thema Tylorreihen) will ich die oben
> genannte Funktion mithilfe von Potenzreihen approximieren.
> Mein Ansatz:
> [mm]2(x-1)e^{(x-1)}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2*(x-1)^{n+1}}{n!}[/mm]
>
> wenn ich das nach [mm]2xe^{x}[/mm] auflöse bekomme ich:
>
> [mm]2xe^{x}=(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2e}{n!}*(x-1)^{(n+1)})+2e^{x}[/mm]
Das ist sicher KEINE Taylorreihe! dass ein Programm die schön zeichnet ist kein Wunder, denn da Programm verwendet ja für [mm] e^{x} [/mm] auch wieder ne lange Taylorreihe, wenn du also bis z.Bsp bis n=5 zeichnest, geht ein Programm von einer e fkt ,die addiert wird aus, die viel besser als die Taylorreihe bis 5 für e^(x) ist.
Dienen Weg kannst du vielleicht weiter gehen, wenn du jetzt noch deinen Summanden [mm] e^{x} [/mm] als Taylorreihe um x0=1 entwickelst und zu der anderen Reihe addierst. Das wird aber, wenn dus richtig machst genauso kompliziert (oder einfach, wie direkt um x==1 zu entwickeln.
Du musst doch nur die Ableitungen von [mm] x*e^{x} [/mm] an der Stelle 1 berechnen, oder die von e^(x) und die Reihe mit x multiplizieren. Aber vielleicht sollst du ja grad zeigen, dass dabei dasselbe rauskommt.
> diese "Taylorreihe" hab ich mal zeichnen lassen. Das ist
> eine super approximation, sogar besser als die nach
> definition entwickelte!
> Mein Problem ist aber, dass diese KEINE Taylorreihe mehr
> ist. Da meine Konstante eine Funktion von x ist. [mm]2e^{x}[/mm]
> Kann mir jemand eine Umformung zeigen, die zum einen eine
> Approximation ist und zum anderen eine Taylorreihe ist??
> Hab schon einiges versucht!
> Oder ist der ganze Ansatz schon falsch?? Wie mache ich es
> dann!
Warum nimmst du nicht einfach die nach Definition entwickelte! Natürlich ist die am Besten für x in der Nähe von 1. wenn du um 0 entwickelst, am besten nahe x=0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:55 Mo 23.01.2006 | | Autor: | lui |
Ja ich möchte zeigen das der Weg über die Potenzreihen entweder besser oder schlechter ist. Deinen Vorschlag hab ich auch schon ausprobiert:
Das wäre dann:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2e}{n!}*(x-1)^{n+1} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{n!}*(x-1)^{n}
[/mm]
zusammen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2e(x-1)^{n+1}+2(x-1)^{n}}{n!}
[/mm]
Wenn ich das zeichnen lasse (Derive) schneiden die sich nicht einmal bei x=1!!
Es könnte eine Approximation sein wenn sie ein wenig verschoben wäre. Die Steigung bzw. Krümmung würde schon passen.
Könnte auch auf einen Rechenfehler hinweisen! Stimmt denn meine Rechnung so???
Hättest du noch eine andere Idee?
Grüße Lui
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Muss der zweite Summand nicht wie folgt lauten?
[mm] $2e^x [/mm] = 2e [mm] \cdot e^{x-1} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{2e}{n!} \cdot (x-1)^n$
[/mm]
Sprich: Hast du das arme "e" etwa unter den Tisch fallen lassen? 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Mo 23.01.2006 | | Autor: | lui |
arg!
Vielen Dank!!!!!!!!!!!
Das hat mich gestern abend die ein oder andere Stunde gekostet! 
Grüße Lui
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