Taylorreihe, sin(xy) < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 So 07.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Finde die Taylorreihe für sin(xy) mit Anschlussstelle [mm] (x_0 [/mm] , [mm] y_0 [/mm] ) =(0,0) |
Hallo,
Ich habe bis jetzt nur Taylorpolynome von Funktionen mit 2 Argumenten ausgerechnet.
Also mit Partieller Differentation kann ich bei einer Taylorreihe mit 2 Argumenten nichts machen oder?
Wie löse ich dann solch ein Bsp?
Ich denke die Taylorreihe von sinus hilft weiter
T[sin(x), 0] = [mm] \sum_k (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
Mfg LU
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Hallo Lu-,
> Finde die Taylorreihe für sin(xy) mit Anschlussstelle [mm](x_0[/mm]
> , [mm]y_0[/mm] ) =(0,0)
> Hallo,
> Ich habe bis jetzt nur Taylorpolynome von Funktionen mit 2
> Argumenten ausgerechnet.
> Also mit Partieller Differentation kann ich bei einer
> Taylorreihe mit 2 Argumenten nichts machen oder?
Wieso nicht?
Bemühe doch die Formel für die mehrdimens. Taylorreihe ...
> Wie löse ich dann solch ein Bsp?
>
> Ich denke die Taylorreihe von sinus hilft weiter
> T[sin(x), 0] = [mm]\sum_k (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
Damit wäre also [mm] $\sin(xy)=\sum\limits_{k\ge 0}(-1)^k\cdot{}\frac{(xy)^k}{(2k+1)!}=xy-\frac{x^3y^3}{6}\pm\ldots$
[/mm]
Verifiziere das mal mit der mehrdim. Formel ...
>
> Mfg LU
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Lu- |
[mm] \frac{\partial sin(x,y)}{\partial x} [/mm] (0,0) = y cos (xy) (0,0)
[mm] \frac{\partial sin(x,y)}{\partial y} [/mm] (0,0) = x cos (xy) (0,0)
[mm] \frac{\partial sin(xy)}{\partial^2 x} [/mm] (0,0) = - [mm] y^2 [/mm] sin(xy) (0,0)
[mm] \frac{\partial sin(xy)}{\partial x \partial y} [/mm] (0,0) = - xy sin (xy) (0,0)
[mm] \frac{\partial sin(xy)}{\partial^2 y} [/mm] (0,0) = [mm] -x^2 [/mm] sin(xy) (0,0)
Wäre mal bis 2ter Ordnung die Ableitungen.
Ja da kommt doch immer 0 heraus wenn ich (0,0) einsetze?
Was mache ich da falsch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mi 10.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\frac{\partial sin(x,y)}{\partial x}[/mm] (0,0) = y cos (xy)
> (0,0)
> [mm]\frac{\partial sin(x,y)}{\partial y}[/mm] (0,0) = x cos (xy)
> (0,0)
> [mm]\frac{\partial sin(xy)}{\partial^2 x}[/mm] (0,0) = - [mm]y^2[/mm]
> sin(xy) (0,0)
> [mm]\frac{\partial sin(xy)}{\partial x \partial y}[/mm] (0,0) = -
> xy sin (xy) (0,0)
Das stimmt nicht.
FRED
> [mm]\frac{\partial sin(xy)}{\partial^2 y}[/mm] (0,0) = [mm]-x^2[/mm] sin(xy)
> (0,0)
> Wäre mal bis 2ter Ordnung die Ableitungen.
>
> Ja da kommt doch immer 0 heraus wenn ich (0,0) einsetze?
> Was mache ich da falsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Ups-.-
$ [mm] \frac{\partial sin(xy)}{\partial x \partial y} [/mm] $ (0,0) =cos(xy)-xy sin(xy) (0,0)=1
Also die terme, wo ich nur nach x oder nur nach y ableite werden immer 0 sein. Da immer eine Konstante, die 0 ist davorsteht. ALso muss ich mir nur die gemischten Ableitungen anschauen.
3ter Ordnung:
[mm] \frac{\partial sin(xy)}{\partial x \partial^2 y} [/mm] (0,0) = - 2x [mm] sin(xy)-x^2 [/mm] y cos(xy) (0,0)=0
[mm] \frac{\partial sin(xy)}{\partial^2 x \partial y} [/mm] (0,0) = -2y sin(xy) - [mm] y^2 [/mm] x cos(xy) (0,0)=0
Ich weiß nicht was ich daraus jetzt herauslesen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 10.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
auch bei der Reihe für sin(x) ist doch jede 2 te ableitung 0 warum stort dich das? sieh mal im ersten post die darstellung. welche Ableitungen sollten ungleich 0 sein?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Stören tut mich das keineswegs.
Aber ich weiß nicht wie ich nun allgemein die Ableitungen verifizieren soll!
DUrch den beitrag der taylorreihe weiß ich es natürlich, aber durch die Ableitungen, die jetzt gemacht habe, nicht.
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Hallo Lu-,
> Hallo,
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> Stören tut mich das keineswegs.
> Aber ich weiß nicht wie ich nun allgemein die Ableitungen
> verifizieren soll!
Was meinst du damit?
Deine partiellen Ableitungen sind nach der Korrektur der gemischten allesamt richtig, auch wenn das schlecht aufgeschrieben ist.
Besser [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)[/mm] u.ä. ... (wobei [mm] $f(x,y)=\sin(xy)$ [/mm] ist)
>
> DUrch den beitrag der taylorreihe weiß ich es natürlich,
> aber durch die Ableitungen, die jetzt gemacht habe, nicht.
Es bleibt doch bei deinem Vorgehen genau [mm]xy[/mm] übrig, das entspricht doch dem Term in der ersten Antwort (bis zur Ordnung 2) ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Nochmal meine Frage ist:
Wie finde ich die nächsten terme der taylorreihe, ich kann ja nicht beliebig oft weiter differenzieren , da ich ja die TaylorREIHE haben möchte.
1ter Ordnung gibt es keinen
Den ersten habe ich von 2.ter Ordnung.
3ter Ordnung gibt es keinen Term.
..etc.
Wie errechne ich das also allgemein??
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Hallo Lu-,
> Nochmal meine Frage ist:
> Wie finde ich die nächsten terme der taylorreihe, ich
> kann ja nicht beliebig oft weiter differenzieren , da ich
> ja die TaylorREIHE haben möchte.
>
> 1ter Ordnung gibt es keinen
> Den ersten habe ich von 2.ter Ordnung.
> 3ter Ordnung gibt es keinen Term.
> ..etc.
>
> Wie errechne ich das also allgemein??
>
Nun, verwende die bekannte Taylorreihe des Sinus
und ersetze dann das Argument durch xy.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Jap das ist klar.
Noch eine Frage dazu: Wenn ich eine TALORREIHE (eben so eine mit 2 argumenten) bestimmen soll, dann kommt man mit partiellen ableitungen nie auf die Reihendarstellung, oder?
Weil wenn ich eine Taylorreihe mit 1 Argument errechnen will, kann ich ja oft die allgemeine Form der Ableitung mittels Induktion bestimmen und so mir die Taylorreihe ausrechnen.
Aber bei partieller Ableitung geht das ja nicht mit allgemeinen formen, weil versch argumente abgeleitet werden oder ?
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Hallo Lu-,
> Jap das ist klar.
> Noch eine Frage dazu: Wenn ich eine TALORREIHE (eben so
> eine mit 2 argumenten) bestimmen soll, dann kommt man mit
> partiellen ableitungen nie auf die Reihendarstellung,
> oder?
Doch schon.
> Weil wenn ich eine Taylorreihe mit 1 Argument errechnen
> will, kann ich ja oft die allgemeine Form der Ableitung
> mittels Induktion bestimmen und so mir die Taylorreihe
> ausrechnen.
> Aber bei partieller Ableitung geht das ja nicht mit
> allgemeinen formen, weil versch argumente abgeleitet werden
> oder ?
So isses.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Lu- |
> Doch schon.
Naja du sagtest doch dass man da keine allgemeine Form findet? Wieso dann doch?
2 Frage; Was hätte ich gemacht wenn der Entwicklungspunkt (0,1) gewesen wäre? Dan hätte ich ja nicht die sinus Taylorreihe mit 1 Argument verwenden können?
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Hallo Lu-,
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> > Doch schon.
> Naja du sagtest doch dass man da keine allgemeine Form
> findet? Wieso dann doch?
>
Mit Hilfe der partiellen Ableitungen am Entwickluingspunkt
kommt man auf die Darstellung einer endlichen Taylorreihe.
Es ist richtig, dass es (fast) unmöglich ist ein allgemeines
Bildunsgesetz für die partiellen Ableitungen zu finden.
> 2 Frage; Was hätte ich gemacht wenn der Entwicklungspunkt
> (0,1) gewesen wäre? Dan hätte ich ja nicht die sinus
> Taylorreihe mit 1 Argument verwenden können?
Ja, das ist richtig.
Dann hättest Du alle benötigten partiellen Ableitungen bilden müssen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke fürs Klären meiner Fragen.
Mfg LU
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